Главная Промышленная автоматика.

Из рис.5.7, б видно, что эта точка лежит в области между полюсами Pi и Р2-

Намечая ряд точек, лежащих в пределах этой области при постоянном значении усо, подбираем такую точку А, соответствующую корню Л* = + jmA, в которой выполняется условие (5.18). Для определения фазовых углов всех векторов используется транспортир. Нетрудно заметить, что комплексно-сопряженное значение этого корня соответствует симметрично расположенной относительно оси абсцисс точке А. Соединив точки А и А кривой так, чтобы касательная в точке пересечения ее с осью абсцисс была перпендикулярна к этой оси, находим точку пересечения корневой траектории с осью абсцисс.

Коэффициент усиления Р, соответствующий точке корневой траектории, определяется по уравнению (5.17), которое в рассматриваемом случае будет иметь вид

U\P-Pi\ rprrrp

P = i=5--ШаЬ, (5.19)

Длины векторов р - Pi и р - р, входящие в формулу (5.19), измеряются непосредственно по чертежу.

Последующие точки корневой траектории при изменении Р от О до оо находятся описанным способом. Так, например, для точки В будем иметь: фО - (Фо + Ф1 +Ф2 +Фз) = 107" - (120° + 90° + 60° + 17°) = -180°;

„ 20 17,3-20-62 0,1 0,05 0,015

Р =-•--= о,5.

18 0,21

При Р - 00 корни характеристического уравнения замкнутой системы стремятся либо к оо, либо к нулям п.ф. разомкнутой системы, что видно из уравнения (5.13), если последнее разделить на Р и р -» 00. В рассматриваемом случае при увеличении Р от О до 00 полюс Ро стремится к нулю р, а полюс рз уходит вдоль отрицательной вещественной полуоси в бесконечность. Полюсы pi и Р2 сначала стремятся по вещественной оси навстречу друг другу, а затем после совпадения (кратный корень) становятся комплексно-сопряженными. Неразветвленными ветвями годографа являются отрезки на вещественной оси: от ро до р и от рз до оо. Разветвляющимися являются ветви, отходящие из области между pi и р2 и расходящиеся вверх и вниз от вещественной оси. Расходя-



щиеся ветви пересекают мнимую ось при коэффипиенте Ркр = 253, называемом критическим (Р„р соответствует границе устойчивости системы). Условие устойчивости системы можно сформулировать следующим образом: замкнутая система будет устойчивой в том случае, если ее корневой годограф располагается в левой полуплоскости корней, а коэффициент усиления системы не превышает критического значения.

5.8. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Постановка задачи. В ряде случаев при проектировании и наладке САУ предоставляется некоторая свобода в выборе одного-двух параметров системы. При этом интересен выбор таких значений искомых параметров, которые обеспечили бы необходимый запас устойчивости системы. Эти значения могут быть определены в случае выделения области устойчивости в плоскости искомых параметров.

Задача выделения областей устойчивости в плоскости двух параметров впервые была решена И.А.Вышнеградским. Затем решение подобных задач получило свое развитие в работах А.А.Соколова, Ю.И.Неймарка и др.

Задача Вышнеградского. Задача построения областей устойчивости решена И.А.Вышнеградским по отношению к одному частному случаю - исследованию системы, описываемой уравнением третьего порядка. Пусть дано уравнение

р -\- а<2Р -Ь а-ур -f Со = 0.

Применив алгебраический критерий устойчивости Гурвица, получим

агох - ао > 0. (5.20)

Разделив выражение (5.20) на Oq, находим

aia2/ao-l>0. (5.21)

Первый член неравенства (5.21) можно представить в виде

охог/ао =

где X = а2, = «1 /«0 - параметры Вышнеградского.

Приравняв ХУ единице, получим уравнение границы области устойчивости:

ХУ=1. (5.22)




Выражение (5.22) представляет уравнение гиперболы (рис. 5.8), которая делит плоскость первого квадранта с положительными координатными осями X и У на две области I и II. Область II, отвечающая условию ХУ > 1, является устойчивой, а область I, соответствующая условию ХУ < 1, - неус- тойчивой.

Рис.5.8. Выделение областей D-разбиение по одному и двум

устойчивости параметрам. Рассмотрим уравне-

но Вышиеградскому ие га-го порядка, все коэффициен-

ты которого положительны:

Р" +Ол-1Р"" +"- + aiP + «o =0- (5-23)

При плавном изменении коэффициентов будут плавно изменяться и корни уравнения (5.23). При этом распределение корней в плоскости р (см. рис. 5.1) непрерывно меняется.

Представим га-мерное пространство с координатами, соответствующими коэффициентам а, аг, а„. Значения коэффициентов (координат) можно подобрать так, что все корни уравнения будут находиться слева от мнимой оси плоскости корней. В этом случае в координатной системе коэффициентов получим область, ограничиваемую гиперповерхностью, которая представляет границу устойчивости. Такую область устойчивости можно получить и в координатной системе только нескольких интересующих нас коэффициентов или параметров. Если теперь изменять коэффициенты так, чтобы один из корней в плоскости р перемещался к правой полуплоскости, можно найти такое их соотношение, при котором этот корень перейдет из левой полуплоскости в правую. Этот переход может быть осуществлен через мнимую ось или через бесконечность. Но последнее возможно только в том случае, если один из корней обращается в бесконечность и, следовательно, обращается в нуль свободный член уравнения Oq. Это приведет к снижению порядка уравнения и к его вырождению. Поэтому переход корней из одной полуплоскости в другую может быть осуществлен только через мнимую ось. Граница области устойчивости в плоскости коэффициентов или параметров уравнений называется границей D-разбиения. Переход через границу D-разбиения в плоскости параметров соответствует переходу корней через мнимую ось в плоскости корней.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [38] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0037