Главная Промышленная автоматика.

ч AC + BD . ВС-AD

C+D C+D

В нашем случае А = bo = 10; В = Ьуш; С = -агш = 0,5Ю; D = co(ai - азсо2) = ц! - 0,5 10-2ш2).

На рис.5.6, б линия 1 представляет АФХ разомкнутой системы без учета запаздывания, рассчитанную по уравнению (5.10) для положительных значений ю. Поскольку умножение комплексного числа Wo(j(u) на ехр(-у(01) означает поворот вектора ТоО™) без изменения его длины по часовой стрелке на угол шт, заключаем, что АФХ W{j(u) может быть получена из АФХ Wo(/m) путем поворота каждого из векторов Wo(j) на угол Ш;Т по часовой стрелке (линия 2). Как видно из графика, запасы устойчивости по модулю и по фазе для системы с чистым запаздыванием меньше, чем запасы для такой же системы без запаздывания (уо >у; 1 > Л). Следовательно, чистое запаздывание снижает устойчивость замкнутой системы.

5.7. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОМ

КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА

Корневой годограф представляет траектории корней характеристического уравнения САУ при изменении одного из ее параметров от О до оо. Они строятся в комплексной плоскости корней на основе известного расположения полюсов и нулей передаточной функции разомкнутой системы. Использование метода корневых годографов эффективно при исследовании устойчивости одноконтурных систем и вызывает известные затруднения при исследовании устойчивости многоконтурных и многосвязных систем.

Рассмотрим применение метода на примере исследования устойчивости одноконтурной САУ с единичной обратной связью. В качестве варьируемого параметра примем коэффициент усиления разомкнутой системы.

П.ф. разомкнутой и замкнутой систем в этом случае имеют

вид:

w{p) = = mi{p); (5.11)

Ф(р) = Мр1 = -ШШ-, (5.12)

G{p) + pD,{p} l + Wiip)

где Р - коэффициент усиления разомкнутой системы.



р(Г1Р + 1)(Г2Р + 1)(ГзР + 1)

и P-Pi

(5.17)

где pi = 1/Ti; P2 = -1/Г2; Рз = -1/Гз; po = О - полюсы, а = i д нуль передаточной функции W{p); с = --- ;

argp>l(p) = ф° =(фо +Ф1 +Ф2 +Фз).

где ф, Фо, фх, Ф2, Фз - аргументы векторов соответственно р - р,

Р- Ри Р- Р2 Р - Ра-

В выражении (5.17) р - один из п искомых полюсов п.ф. замкнутой системы, а pj -полюс разомкнутой системы (я - поря-

Характеристическое уравнение разомкнутой системы

G(p) = 0.

Характеристическое уравнение замкнутой системы

G(p) + 3L>i(P) = О. (5.13)

Обычно система автоматического управления состоит из типовых динамических звеньев. Поэтому полюсы и нули п.ф. разомкнутой системы можно считать известными. Нули п.ф. замкнутой системы будут те же, что и нули разомкнутой системы.

Для определения полюсов п.ф. замкнутой системы нужно решить, как это следует из п.ф. (5.12), уравнение

Wiip) = -1. (5.14)

Так как Wi(p) является функцией комплексной переменной р, модуль и аргумент выражения (5.14) можно выразить зависимостями:

pWi(p) = 1; (5.15) •

argpWi(p) = -тп, (5.16)

где т - нечетное число.

Уравнения (5.15) и (5.16) могут быть решены графически. Пусть, например,

где т = 0,21 с; Ti = 0,1 с; Тг = 0,05 с; Гз = 0,015 с.

В соответствии с соотношениями (5.15) и (5.16)

Р(тр + 1)



/ V \.


Рис.5.7. Корневой годограф замкнутой снстемы: X - полюсы разомкнутой снстемы; О - нули разомкнутой системы; V - полюсы замкнутой системы

Прежде всего, следует установить место пересечения корневой траектории с осью абсцисс. Из равенства (5.13) видно, что при Р = О все корни характеристического уравнения замкнутой системы стремятся к корням характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащим в нашем случае на оси абсцисс слева от мнимой оси. Следовательно, точка, определяющая искомый корень характеристического уравнения замкнутой системы, лежащая также на оси абсцисс, должна удовлетворять фазовому уравнению (5.16), которое будет иметь вид

ф° - (Фо + Ф1 + Ф2 + Ф2 + Фз) = -71- (5.18)

док системы). Величина р - pJ представляет длину вектора, равную модулю разности векторов р и р,. Вектор р - Pi проводится из точки Pi в точку р плоскости корней (рис.5.7, а). В выражение (5.17) входят длины векторов р - р а р - р,, проведенных из всех нулей и полюсов п.ф. разомкнутой системы в полюс р передаточной функции замкнутой системы (точки А и В на рис.5.7, б). На этом же рисунке показаны аргументы этих векторов. При графическом построении корневого годографа полюс р, принадлежащий корневой траектории на плоскости корней, находится путем нескольких проб.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [37] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0036