Главная Промышленная автоматика.

5.5. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Метод основывается на возможности суждения об устойчивости замкнутой системы по взаимному расположению логарифмических амплитудной и фазовой характеристик системы в разомкнутом состоянии. Согласно критерию Найквиста, в случае, если система устойчива, точка (-1; ;0) лежит слева от АФХ первого рода.

При значениях аргумента характеристического вектора W(J(a) разомкнутой системы ф = -я и модуля Ж(/со) = 1 система будет находиться на границе устойчивости. При этом L(co) = = 201gW(7Cu) = О, т.е. логарифмическая амплитудная характеристика (рис.5.5, а) пересекает ось абсцисс. Точка пересечения характеризуется частотой среза (0.

а б в

L(CD)



-7t/2-

Рис.5.5. Определение устойчивости по ЛЧХ. Система находится иа границе устойчивости (а), устойчива (б) и неустойчива (в) (1/(сй) измеряется в децибелах)

жительном направлении т квадрантов комплексной плоскости, начиная свое движение от положительной вещественной полуоси, и при этом нигде не обращается в нуль.

На рис.5.4, б приведены годографы Михайлова для устойчивых замкнутых систем, описываемых уравнениями различных порядков (т равно 1, 2, 4, 5). Система будет неустойчивой в случае, если полином М(/т), определяемый уравнением (5.9), имеет корни с положительной вещественной частью. Число этих корней можно определить по виду годографа. Если полный угол поворота вектора М(/со) равен (т - 2г)(я/2), то число корней равно г.



Если система устойчива, то при ф = -я величина ИОю) < 1 и L(ffl) = 201g>F(7ffl)l < О, т.е. ордината логарифмической амплитудной характеристики будет иметь отрицательный знак (рис.5.5, б).

При неустойчивой системе углу ф = -я соответствуют величины Ж(ут) > 1 и L((u) = 201gW(yco) > 0. В этом случае ордината логарифмической амплитудной характеристики будет иметь положительное значение (рис.5.5, в).

Таким образом, при амплитудно-фазовых характеристиках первого рода система будет устойчивой в том случае, если ордината логарифмической частотной характеристики при фазовом угле ф = -я имеет отрицательный знак. На рис.5.5, б показаны запас устойчивости по модулю, характеризуемый отрезком АВ, и запас устойчивости по фазе (отрезок CD).

Условия устойчивости при амплитудно-фазовой характеристике второго рода применительно к логарифмическим частотным характеристикам можно сформулировать следующим образом. Для того чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчива также и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов фазовой характеристики ф(ш) через прямую (-я) при тех же значениях со, при которых логарифмическая амплитудная характеристика L(u)) неотрицательна, равнялась нулю.

В соответствии с критерием Найквиста, сформулированным в наиболее общем виде (см. п.5.3), САУ, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числами положительных переходов логарифмической фазовой характеристики через прямую (-я) равна г/2 с учетом только тех значений со, при которых ЛАХ положительна. Здесь г - число корней с положительной вещественной частью.

5.6. УСТОЙЧИВОСТЬ САУ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Иногда отдельные звенья САУ обладают «чистым» запаздыванием, которое проявляется в том, что система реагирует на входной сигнал не сразу, а по истечении некоторого постоянного времени т.



Пусть разомкнутая система, обладающая запаздыванием, соответствии со структурной схемой, показанной на рис.5.6, а описывается передаточной функцией

Щр) = -hl±pZ = Wo (р)ехр(- гр),

где Wq(p) - передаточная функция разомкнутой системы при отсутствии чистого запаздывания.

Заменив р на /со, получим уравнение амплитудно-фазовой характеристики без запаздывания в виде

где аз = Т1Т2; аз = Гг + Tg; ai = 1.

Зададимся значениями параметров: Ti = 0,1 с; Гг = 0,05 с; X = 0,05 с; bi = 1; 60 = Ю. Отделив вещественную часть от мнимой, найдем

Wo{m) = PM + jQ{o) = , (5.10)

с + jD

6iP + *o

(Tip + lb

T2P + I


о> = 5

Рис.5.6. Структурная схема (о) и графики (б) для определения устойчивости системы с запаздыванием





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [36] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.006