Главная Промышленная автоматика.

концом касается амплитудно-фазовой характеристики, то получим вектор 1 + W(yco), так как

ОуА = ОА- (-1) =1 + ОА = 1 + Щ/со). При изменении со от -оо до -Ьоо конец вектора 1 + W(j(ii) будет скользить по амплитудно-фазовой характеристике, а сам вектор повернется на угол, результирующее значение которого равно нулю. Последнее возможно, если точка (-1; jO) лежит вне амплитудно-фазовой характеристики. Это условие согласуется с условием (5.6), которое возможно лишь в случае, когда система устойчива.

Таким образом, согласно критерию Найквиста, замкнутая система будет устойчивой в том случае, если устойчива разомкнутая система и ее амплитудно-фазовая характеристика не охватывает точку (-1; уО).

Кривая (см. рис.5.2, б), представляющая частотную характеристику устойчивой системы, пересекается с осью абсцисс справа от точки (-1; jO) и называется амплитудно-фазовой характеристикой первого рода. Кривая (рис.5.3, а), пересекающаяся с осью абсицсс и справа, и слева от точки (-1; уО), называется амплитудно-фазовой характеристикой второго рода. В этом случае система в замкнутом состоянии будет устойчивой при условии, если разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов амплитудно-фазовой характеристики через ось абсцисс слева от точки (-1; уО) равна нулю.

/Q(co)4

£0 = 0 (-l.yO)



Рис.5.3. Исследование устойчивости по АФХ: а - АФХ второго рода; б - определение запаса устойчивости по модулю и фазе

При анализе устойчивости системы по амплитудно-фазовым характеристикам целесообразно ввести понятие запаса устойчи-



вости по модулю и по фазе. Если через точку (-1; ;0) (рис.5.3, б) провести окружность единичного радиуса, получим точку пересечения ее с амплитудно-фазовой характеристикой (точка А). Запас устойчивости по модулю характеризуется отрезком Л, а запас устойчивости по фазе - углом у.

В более общем случае, если степень полинома £)(/ш) в уравнении (5.7) меньше степени полинома С(;ш) и они не имеют общих корней с неотрицательной вещественной частью, критерий Найквиста формулируется следующим образом: САУ, неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая г корней с положительной вещественной частью, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если АФХ W{j(si) охватывает точку (-1; уО) в положительном направлении (против часовой стрелки) г/2 раз. При этом угол поворота характеристического вектора замкнутой системы 1 -ь WiJfSi) при возрастании т от О до х должен быть равен 2п(г/2). Например, при одном корне с положительной вещественной частью (г = 1) угол поворота будет равен я, при двух (г = 2) - 2я и т.д. В практике целесообразно пользоваться другой формулировкой: САУ, неустойчивая в разомкнутом состоянии, является устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числам положительных и отрицательных переходов АФХ через ось абсцисс слева от точки (-1; /0) равна г/2. Сформулированный ранее критерий устойчивости Найквиста следует рассматривать как частный случай общей задачи при г = 0.

5.4. КРИТЕРИЙ МИХАЙЛОВА

Критерий Михайлова дает возможность судить об устойчивости системы по годографу, описываемому концом характеристического вектора замкнутой системы, который может быть получен из уравнения (5.3):

М(р) = Dip) + G(p). (5.8)

Если заменить р на уш и изменять ш от О до оо, то вектор своим концом опишет в комплексной плоскости кривую, называемую годографом Михайлова. Выражение (5.8) представляет полином т-го порядка, который может быть разложен (при р = jm) На множители:

Mijm) = (усо - pi)ija) - Рг)-(/ш " Рт). (5-9)

где pi, Р2, Рп - уравнения (5.3).





Р(ш)

Рис.5.4. Исследование устойчивости по Михайлову: а - график к доказательству критерия Михайлова; б - годограф Михайлова

При со = О годограф Михайлова отсекает на вещественной оси в положительном направлении отрезок, равный свободному члену характеристического уравнения. Начало характеристического вектора совпадает с началом координат. Поэтому, если система устойчива, характеристический вектор при своем вращении нигде не должен обращаться в нуль.

Критерий Михайлова формулируется следующим образом: замкнутая система устойчива в том случае, если характеристический вектор при изменении со от О до со проходит в поло-

.Уравнение (5.9) написано в предположении, что замкнутая система устойчива. Правая часть этого уравнения представляет произведение векторов, расположенных слева от мнимой оси в плоскости корней (рис.5.4, а). Так как векторы (уш - р), соответствующие вещественным корням, совпадают с осью абсцисс, то при изменении со от О до оо каждый из них повернется на угол я/2. Каждая же пара комплексно-сопряженных корней повернется при этом на угол л. Действительно, вектор (усо - рз) при изменении со от О до 00 повернется на угол ai, а вектор (усо - рз) - на угол аз- Так как ZABO = ZBAO = аг (АОАВ - равнобедренный), то результирующий угол поворота обоих векторов ai + аг = я. Таким образом, вектор М(усо), представляющий произведение т векторов, аргументы которых при умножении складываются, повернется при этих условиях на угол т(п/2).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0035