Главная Промышленная автоматика.

Уравнение четвертого порядка

Оор* +aip +а2Р +азр + а4 = 0. Главный определитель

«1

«1

Условия Гурвица

Ао =

Al =

ai as ао а2 О ai

«1 Оз ао 02

"3

= 0102 -одоо >0;

= 01(0203 -Oi04)-0oo >0

Дз =03(0102 -азОо)-о04 =озА1-оа4 >0

Определитель А2 может быть положительным лишь при условии Al > 0. Поэтому условие устойчивости для уравнения четвертого порядка может быть выражено соотношением

"з("1"2 -"3"o)-"l<4 >0-Уравнение пятого порядка

ар +aip +а2Р +"зР +"4Р + "5 = О-Система, описываемая уравнением пятого порядка, устойчива, если

Аг =ai(a2«3 -а1«4)-«о(аз -a5"l)>0; Дз =(аз«4 -a2"5)(aia2 -ОоОз)-(о104 -ОоОд) > 0.

5.3. КРИТЕРИИ найквиста

Критерий Найквиста, основанный на использовании частотных характеристик, позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по ее амплитудно-фазовой характеристике в разомкнутом состоянии. Установим связь между п.ф. одноконтурной системы в замкнутом и разомкнутом состояниях.



G(/(o) (ycu-Si)0cu-S2)...(;cD-s)

АехрУф

(5.5)

Аехр/фв

где pi, Р2.....Рт> S2.....- соответственно корни уравнений

(5.3) и (5.4).

Множители числителя и знаменателя правой части выражения (5.5) представляют векторы, располагаемые в комплексной плоскости слева от мнимой оси (рис.5.2, а). Начало каждого вектора лежит в точке, соответствуюш;ей корню уравнения р, а конец - на мнимой оси.

При изменении частоты ю от -оо до Ч-оо каждый из векторов повернется на угол тг. Числитель выражения (5.5) представляет вектор, модуль которого А равен произведению модулей перемножаемых векторов, а аргумент фд - сумме аргументов тех же т векторов. Поэтому при изменении ю от -оо до +со результи-

Рассмотрим функцию

где числитель представляет характеристический полином системы в замкнутом состоянии, а знаменатель - характеристический полином разомкнутой по цепи главной обратной связи системы. Выражение

есть передаточная функция разомкнутой системы.

Так как порядок полинома D(p) для физически реализуемых систем не должен превышать порядок полинома G{p), то характеристическое уравнение замкнутой системы

G(p) + £)(р) = О (5.3)

имеет столько же корней, сколько и характеристическое уравнение разомкнутой системы

Gip) = 0. (5.4)

При выводе критерия Найквиста будем исходить из того, что система устойчива как в замкнутом, так и в разомкнутом состоянии, т.е. веш;ественные части корней уравнений (5.3) и (5.4) отрицательны.

Заменив в уравнении (5.1) р на /ю и разложив числитель и знаменатель на простейшие множители, получим уравнение амплитудно-фазовой характеристики замкнутой системы:

1 -(- W{jm) = = (/ю - pi - Р2 - Рт )




С0 = -00

Рис.5.2. Пояснения критерия Найквиста: о - расположение векторов р-pi в комплексной плоскости; б - АФХ разомкнутой системы

амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы получается путем замены р на /ю в уравнении (5.2):

бо(у«>г+1(у«)Г+-+ь

она отображает границу области устойчивости. при со -> о W{j(o) ajbm, а при со оо w(yco) -> о, если порядок числителя меньше порядка знаменателя (п < т), и w(yco) ао/Ьо при равенстве порядков числителя и знаменателя (п = т).

амплитудно-фазовая характеристика при изменении со от -оо до -Ьоо симметрична относительно оси абсцисс (рис.5.2, б). если из точки с координатами (-1; /0) провести вектор, который своим

рующий вектор D(jm) + g(/u)) повернется на угол = тп. так как по условию корни G{p) = о лежат слева от мнимой оси, угол поворота фв результирующего вектора, имеющего модуль В, при изменении ю от -00 до -Ьоо также будет равен тп. нетрудно заключить поэтому, что угол поворота вектора 1 + W(J(o) при изменении о) от -оо до -f оо равен

фд - фв = тт! - тт! = 0. (5.6)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [34] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.004