Главная Промышленная автоматика.

-(- а

-(- ... -f-

dx dt

+ UqX = b.

Решение этого уравнения:

x{t) = Ci exppit-\-C2 expp2* + --- + C„ expp„t-b


где pi, P2, .... p„ - корни характеристического уравнения

-I- ... +

Рис.5.1. Распределение корней в комплексной плоскости

n-lP" +0.П-2Р -\-aip + aQ =0.

Если система устойчива, то функция x{t) при t, стремящемся к бесконечности, будет стремиться к Ь/а, что возможно лишь в том случае, если каждый из членов exppi< будет стремиться к нулю. Для этого все

корни pi. р2.....Рп должны иметь

отрицательную вещественную часть.

Для категории некритических случаев справедливы две следующие теоремы.

Теорема первая. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то система будет устойчивой независимо от членов разложения выше первого порядка малости.

Теорема вторая. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения найдется по меньшей мере один с положительной вещественной частью, то система будет не устойчивой независимо от членов разложения выше первого порядка малости.

Все критические случаи имеют место лишь т<1)гда, когда среди корней характеристического уравнения первого приближения имеется некоторая группа корней, вещественная часть которых равна нулю, а остальная группа корней имеет отрицательную часть. В этом слзае вопрос об устойчивости не может быть решен на основании исследования уравнений первого приближения.

Поскольку уравнение первого приближения можно рассматривать как линеаризованное дифференциальное уравнение, то условия устойчивости А.М.Ляпунова справедливы и для линейных систем. Пусть, например, система описывается линейным дифференциальным уравнением п-го порядка



Корни характеристического уравнения можно представить в виде векторов, расположенных в комплексной плоскости (рис.5.1). Очевидно, что система будет устойчивой, если все корни располагаются слева от мнимой оси. В случае, если один вещественный корень или пара комплексно-сопряженных корней располагаются на мнимой оси, система оказывается на границе устойчивости. Системы, у которых имеется одна пара мнимых корней, могут совершать незатухающие колебания (автоколебания). Эти системы часто относят к неустойчивым, так как они практически неработоспособны. Линейные системы, характеристические уравнения которых имеют один нулевой корень при всех остальных корнях, расположенных левее мнимой оси, называют нейтрально-устойчивыми. Для того чтобы все корни оказались в левой полуплоскости, можно воздействовать на коэффициенты характеристического уравнения, которые, согласно теореме Виета, связаны с корнями непрерывными зависимостями.

При исследовании устойчивости САУ возможно решение . следующих задач:

1) выяснение, является ли устойчивой система при заданных параметрах;

2) определение допустимых изменений некоторых параметров (при неизменных остальных параметрах и заданной структуре) без нарушения устойчивости системы;

3) анализ структуры системы и определение параметров, при которых она может стать устойчивой (анализ структурной устойчивости).

Первая задача может быть решена различными методами. Можно определить корни характеристического уравнения и по ним установить знаки их вещественных частей. Однако такой метод может быть использован, когда порядок характеристического уравнения ниже третьего. Уже для кубического уравнения трудно определить корни, не говоря об уравнениях более высоких порядков. Кроме того, для определения устойчивости совершенно не обязательно знать значение корней характеристического уравнения. Достаточно убедиться только в отрицательности вещественных частей корней. Поэтому представляется целесообразным воспользоваться другими, более простыми методами определения устойчивости, основанными на установлении факта отрицательности вещественных частей корней без нахождения их значения. Такие методы основываются на использовании критериев устойчивости, например алгебраических критериев Рауса и Гурвица, частотных критериев Михайлова и Найквиста, а также условий устойчивости, определяемых логарифмическими частотными характеристиками.



Главный определитель.

ау ад о

= Оз (aia2 - ацОд ),

Oq а2 о о ау аз

Условие Гурвица {ауа2 -аоаз)>0, ад (аад - ацОд ) > о, > о, г = 1, 2, 3. Следовательно, система будет устойчивой, если все коэффициенты ао, ау, а2, од положительны и aia2 - aoCg > 0.

Для решения второй задачи могут быть использованы методы выделения областей устойчивости.

5.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА И ГУРВИЦА

Алгебраические критерии устойчивости позволяют установить, устойчива система или нет, по результатам алгебраических действий над коэффициентами характеристического уравнения. Условия, устанавливаюш;ие факт отрицательности веш;ественных частей корней, и будут являться критериями устойчивости. Впервые подобный критерий был предложен Раусом (1873), а затем Гурвицем (1895). Эти критерии одинаковы по содержанию и отличаются только формой их выражения. Сформулируем критерий Гурвица, нашедший более широкое применение для оценки устойчивости.

Пусть дано характеристическое уравнение

аор" + aip"" + аар"" +... + a„ ip + а„ = 0.

Вещественные части корней будут отрицательными в том случае, если все коэффициенты уравнения и диагональные миноры главного определителя будут положительными. Главный определитель составляется так, что по главной диагонали выписываются коэффициенты уравнения начиная с Ui в возрас тающем порядке до а„. От каждого коэффициента главной диагонали по вертикали вверх выписываются коэффициенты с возрастающими и вниз - с убывающими индексами. Места в матрице коэффициентов с индексами больше п и меньше О заполняются нулями.

Рассмотрим выражение критерия Гурвица для некоторых уравнений.

Уравнение третьего порядка

Uqp -\-aip +а2р--аз=0.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [33] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0038