Главная Промышленная автоматика.

такое звено, выходная величина которого при подаче на вход ступенчатого воздействия стремится к установившемуся значению, совершая затухающие колебания либо апериодически (монотонно) приближаясь к нему. переходный процесс такого звена описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

гр гр ВЫХ , гр .ВЫХ . „ - bv

где ti, Т2 - постоянные, имеющие размерность времени; k - коэффициент усиления звена.

операторное изображение этого уравнения при нулевых начальных условиях слева имеет вид (г1г2р2 + tip -(- 1)

вид переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения, которые зависят от соотношения постоянных времени Ti и Т2, и может носить апериодический либо колебательный характер.

к инерционным звеньям второго порядка можно отнести электрические колебательные контуры (рис.3.3), состоящие из индуктивности, емкости и активного сопротивления; электромеханические элементы, например двигатель, способный запасать кинетическую энергию в якоре и электромагнитную в якорной цепи; электромашинный усилитель, механические элементы, обладающие массой, упругостью и вязким трением, и т.д.

±1



рис.3.3. инерционные звенья второго порядка



Дифференциальное уравнение входной цепи ЛЬС-контура (рис.3.3, а) имеет вид

£,+Ш + ивых ="вх- (312)

Для выходной цепи можем написать:

"вых=И*- (3.13)

Продифференцировав выражение (3.13) и решив полученное соотношение совместно с уравнениями (3.12) и (3.13), найдем

гр гр "вых . гр "вЫХ

где Ti = RC, Т2 = L/R - постоянные времени.

Произведя преобразование по Лапласу, получим операторное уравнение контура в виде

(TiTaP + Т1Р + 1)изых = "вх- (3.14)

Входным воздействием двигателя постоянного тока, работающего при постоянном магнитном потоке, является напряжение на якоре, а выходной координатой - угловая скорость ю (рис. 3.3, б). Если приложить к якорю двигателя воздействие в виде скачка напряжения, возникнет переходный процесс, который описывается дифференциальными уравнениями:

u = e + iRp+Lp-; (3.15)

M = MJ. (3.16)

Выражение (3.15) представляет уравнение ЭДС главной цепи, а (3.16) - уравнение движения электродвигателя. Здесь е, i, Лд, 1,д - соответственно ЭДС, ток, сопротивление и индуктивность якоря двигателя; М - момент двигателя:

М = а; (3.17)

Мс - статический момент на валу двигателя:

Мс = cl; (3.18)

J - момент инерции, приведенный к валу двигателя; с - коэффициент пропорциональности между моментом М и током двигателя i или между ЭДС двигателя е и его угловой скоростью ю; 7с - ток якоря двигателя, обусловленный моментом статической нагрузки на его валу.



Учитывая выражения (3.17) и (3.18), получаем

где Гмд = JRp/c - электромеханическая постоянная времени двигателя.

Коэффициент пропорциональности с можно определить по формуле

где Jg, cOg - номинальные значения тока и угловой скорости двигателя. После преобразования уравнений (3.15) и (3.19) по Лапласу найдем:

U = е-нШд +Ljpi\

Совместное решение этих уравнений дает операторное уравнение двигателя:

" = (VP + ТР + + (ГдР + 1)сЛд. (3.20)

где Тд = LJRg - электромагнитная постоянная времени якоря двигателя.

Полагая скачок возмущающего воздействия /Лд равным нулю, получим операторное уравнение двигателя:

(ГмдГдР +rp-t-l)ca) = u,

где и - входное воздействие; со - выходная координата.

Исследуем переходную характеристику звена на примере решения операторного уравнения (3.14).

Характеристическое уравнение имеет вид

ТТр +Tip+ 1 = 0, а его корни определяются выражениями

р1,2 = -

г1-4г2

При Tl > 472 корни будут вещественными и решение имеет

вых =вх +Ciexp(pi0 + C2exp(p2t). (3.21)

Выражение (3.21) характеризует апериодический процесс, протекающий без колебаний (кривая 1 на рис.3.3, в). Звенья, об-ладгиощие такими свойствами, называются апериодическими





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [14] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0035