Главная Промышленная автоматика.

2.4. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

САУ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ

Уравнение системы в операторном виде может быть получено путем преобразования по Лапласу дифференциального уравнения либо на основании операторных уравнений или передаточных функций динамических звеньев, образующих структурную схему системы.

Операторные уравнения могут составляться как для полных значений координат системы, так и для отклонений от их начальных значений. В случае применения операторного метода расчет переходных процессов может выполняться по начальным условиям слева, при этом не требуется определения начальных условий справа (t = +0). Необходимо лишь знать величину скачков всех воздействий при = 0. Расчеты упрощаются при нулевых начальных условиях, а также если возникновению процесса предшествует установившееся состояние системы. В последнем случае расчет может быть выполнен в отклонениях (от начальных значений), для которых начальные условия являются нулевыми. Получение операторного уравнения покажем на примере систем со сложным законом изменения воздействия.

Пример 2.1. Рассмотрим применение классического метода на примере решения дифференциального уравнения системы третьего порядка при ступенчатых воздействиях Fi и F2-

азд:<3) + а2л:<2) + ajxi) + uqx = ЬцЕ + ЬюР -

- (Ь22if + b2i F + b20F2). (2.7)

Предначальные условия х(-0), х(-0), х{-0), Fi(-O), F2(-0),

F(-0), значения их были приведены при решении этого примера классическим методом. Преобразование по Лапласу уравнения (2,7) с учетом предначальиых значений дает

(р) = -у (2.8)

pN(p)

Н(р) = (biLP + bio)Fi - (b22P + bziP + b2o)F2 -- hipFii-O) + (azp + aip + ao)px(-O). Зададим численные значения: JFi(-O) = 50 В; 2(-0) = 0; JFi(-bO) = 100 В; 2(+0) = 10 В; л:(-0) = 50 В; л: = (-0) = 0; Jc(-O) = = 0; аз = 0,0164; а2 = 1,642; aj = 10.4; = 10; Ьц = 2; 22 =0,082; bai = 8,21; bjo = 1; ho = Ю;

N{p) = азрЗ + ар -(- ар -(- Oq; Fl = 100 В; F2 = 10 В; Fi(-O) = 50 В; д:(-0) = 50В. Переход к оригиналу осуществляется по формуле



, ЩРз)

exp(pif) +

ЩР2)

P2(P2)

exp(P2t) +

(2.9)

Рз(Рз)

где pi = Dl, P2 = D2, Рз = D3 - корни характеристического уравнения asP + а2Р + aip + uq = 0. Вычислив члены правой части уравнения (2.9), найдем:

Я(0)

= 99;

H(Pi)

= -60;

Н{Р2) Р2(Р2)

= 0,6;

ЩРз) P3N\P3)

= 10,4.


N{0) PiN(pO Таким образом,

x(t) = 99 - 60ехр(-1,1760 + 0,6ехр(-93,410 + 10,4ехр(-5,5340.

Наиболее распространенным является метод составления операторного уравнения и передаточной функции по структурной схеме системы, состоящей из динамических звеньев. При этом предполагается, что начальные условия слева нулевые. Начальные условия справа учитываются автоматически. В гл.З будут рассмотрены примеры применения этого метода.

Рис.2.4. Решетчатая функция СОСТАВЛЕНИЕ

РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ РЕШЕНИЕ

Непрерывная функция x{t) на заданном интервале (о. tf) может быть представлена конечным числом своих значений в точках to, ti, tf. Обычно берут постоянный интервал ti+i - = = т. Тогда t/i = кт и действительный аргумент t заменяется целочисленным k. Вещественная функция целочисленного аргумента k называется решетчатой функцией х = xit/i) (рис.2.4). Для решетчатой функции можно определить разности различных порядков:

= Xji+i - Xii; Ax+i = Ax+i - Axk-,

Д«л:к41 = A-Xk+l - A"-Xk. Они аналогичны производным от непрерывных функций. В то время как непрерывная функция может являться решением некоторого дифференциального уравнения, решетчатая функ-



ция может являться решением разностного уравнения. Разностное уравнение - это равенство, содержащее решетчатую функцию и ее разности различных порядков. Разностное ургшнение 1-го порядка

можно представить в рекуррентной форме, т.е. в форме, где неизвестная Xfi+i определяется через свои предыдущие значения. Для этого следует в последнее уравнение подставить AJC+i = ar+i - л: и перенести Х/ в пргшую часть;

Xk+i = Xk + nxk, u(t)). Рекуррентная форма разностного уравнения позволяет решать его по шагам, начиная с k = О, если известны начальные условия. В самом деле, при k = О уравнение дает возможность по известному Xq = x(to) и u{tQ) найти х-. Далее по найденному х-[, зная u{ti), определяют лгг и так далее до конца заданного интервала (*о, tf).

2.6. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ

Даны уравнения:

Xi = fi [х , Х2....., uit)), i = 1, 2,п , (2.10)

и начальные условия: Xiito) = х. Требуется определить хД*) на заданном интервале {to, tf). Это задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем случае аналитическое решение задачи Коши невозможно. Однако она решается приближенными (численными) методами на ЭВМ. Вместо лгД) вычисляется решетчатая функция лгД) = х, t = ki, в результате решения системы разностных уравнений, построенных на основании дифференциальных в соответствии с выбранным численным методом. Так, метод Эйлера основан на допущении: x » Ajcj т .

Тогда, учитывая, что Длт+х = Xj+i - JC( , получим разностные уравнения:

XiMi = Xi,k + T/i(xi,ft, X2,k, Xn,k, "(ift)). i = 1, 2.....n,

которые могут быть решены по шагам, если известны начальные условия. Поскольку Дх; ;/т отличается от точного значения производной Xi тем больше, чем больше шаг т, метод Эйлера дает

погрешность, возрастающую с ростом т.

Более точный результат получается при использовании методов Рунге-Кутта. Рассмотрим метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Он требует вычисления коэффициентов Рунге-Кутта, которые являются приближенными значениями правых частей





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

0.0036