Главная Промышленная автоматика.

Рис. 3.3. Стрхктуриаи с.\ема системы с форчировате-тем.

Для определения оптимальной п. ф. системы необходимо выбрать критерий оптимальности, формулирующий цель управления. В следящих приводах в качестве критерия оптимальности часто применянот выражение интегральной квадратичной ошибки

/,= Jedt

(3.19)

Для того чтобы система была оптимальной, критерий /i должен иметь наименьшую возможную величину прн условии ограничения интегрального квадратичного значения тока нли его динамической составляющей:

Возможно применение и других критериев оптимальности например критерия быстродействия, обобщенного интегрального квадратичного критерия Фельдбаума и др. Однако мы ограничимся здесь рассмотрением наиболее простого критерия Гсм формулу (3.19)]. г F I

Изображения ошибки б и динамического тока могут быть найдены с помощью п. ф. системы, согласно теореме Парсеваля.

Рассмотрим сначала работу системы при отсутствии возмущения, при этом

6=й,[Цр)-Ф(р)] = Щ1~Ф(р)]; /д= Ц,Ф( (р) = и,Ф (p)bT„fP,

где L(p) - оператор цели преобразования, который

для следящих систем чаще всего принимается равным единице: Ф(р) - п. ф. системы по задающему воздействию; *>(Р) =*(р)/КдгКдз - п. ф. по задающему воздействию относительно сигнала 1д/?о. Следовательно, для рассматриваемого случая, учитывая обозначения, данные в § 2.10,

Ч,= (;Л1-Ф]ЦГ[1-Ф*]

2=У.1Ф1!Ф&т1р:

(3.20)

(3.21)

Условием минн.чума выражения (2.62) при фиксированном значении множителя Лагранжа является выполнение равенства

(3.22)

Стоящая в правой части выражения (3.22) функция X должна иметь все нули и полюса в верхней полуплоскости комплексного переменного.

Подставив в формул\ (3.22) значения 4i н и выполнив дифференцирование, получим:

и,УФ-Ю,= -

У=1+№ТрК

(3.23)

При этом правая часть уравнения по-прежнему должна иметь все

жеиия В главной цепн от динамической составляющей тока; f=IcRo - изображение возмущающего воздействия, равного падению напряжения в сопротивлении Ro от статической составляющей тока.

П. ф. динамически. звеньев двигателя:

Кд.= -1; В=Тр+и К=- и Кдз=.

Передаточные функции Кф, Кп, Ко должны быть определены из условии оптимизации переходных процессов.



Тогда

о=у*ёг„.

У= (ap+cos 45°-; sin 45°) (ар cos 45°+/ sin 45°) = c?p+f2ap+\: Y= (op-cos 45°-bj sin 45°) (op-cos 45 -; sin 45°) =

= 02p!- V2op+l.

Разделив выражение (3.23) на У*, получим - X

t/зУ

где Z=Z7„/y.

Представим 2. в виде двух слагаемых:

(324)

(3.25)

где имеет все полюса в нижней полуплоскости, а -

в BepxHeii. Для вычисления этих слагаемых разложим сначала Z на простейшие дроби, при этом необходимо знать вид изображения задаюи1его воздействия. Примем ступенчатое задающее воздействие, для которого

(3.26)

Тогда

Вр+С

р(о=рг-2ар-Ц) следовательно, и

о2р2 ,2ор--

р а2р2-2ор+1

(3 27)

Подставим выражение (3.25) в формулу (3.24):

Tl,Y0-[Z]+=- +[Z\~. U у-

(3.28)

В уравнении (3.28) левая часть представляет собой функцию, все потюса которой расположены в нижней полуплоскости, а правая - функцию, полюса которой находятся в верхней полуплоскости. Для систем, в которых отсутствует скачкообразное изменение выходной величины, равенство (3.28) возможно только при условии, если обе части его равны нулю. Таким образом, оптимальная передаточная функция следящей системы, найденная из условия (3.22), может быть определена по формуле

Фо=-

(3.29)

Для случая ступенчатого задающего сигнала, подставив выражения (3.26) и (3.27) в формулу (3.29), патучнм

Ф„= -

ар-+Т/2ар+\

(3 30)

Найденная п. ф. соответствует так называемому техническому оптимуму, или бетрагс оптимуму. Полюса п. ф

Р1.2=--- - (1±/)

представляют co6oii комплексные числа, у которых абсолютные величины действитечьных и мнимых частей одинаковы.

Выражение (3.30) определяет вид оптимальной п. ф. Однако для ее вычисления необходимо найти еще наивыгоднейшее значенне множителя Лагранжа н, следовательно, параметра а. С этой целью можно построить графики It = l\{k) н IJzik), пользуясь формулой Внета - Парсеваля:

Решение интегралов подобного типа для случая, когда if является дробно-рациональной функцией р, приводится в работах [42, 43]. При k=0 п. ф. Ф=Л=1: /,=0 и /; имеет наибольшее

полюса в верхней полуплоскости. Разложим функцию V на спектральные множители:

V= YY,

где У имеет все нули в нижней, а У* - в верхней пачуплоскости. Обозначим



(о/;-Ы2)(-ср-Ы2)

(ор-ЬТ 2 Qp-h I) (срг--,. 2 ор-Ь 1)

р(-р)

(tfp-btl ар+1) (агу2 cp-t-1)

Для первого из искомых интегралов /i находим по таблице интегралов [43]: п=2; Ci=a; С2=}2; di=a-; di=2o; do= 1. По приведенной в таблице формуле

2dodA

(3.31)

Подставив сюда значения символов и принимая во внимание множитель f2a получим

/,= = 1.06Ка. 2>2

Для второго интеграла нужно подставить в формулу (3 31) значения: ci=l; С2=0; Й2=а; di=V2o; da-V.

ulml

2,83оз

(3.32)

Выразим интеграл (3.32) через эквивалентный по условиям нагрева ток двигателя за время переходного процесса. В следящих электроприводах статический ток обычно мал по сравнению с динамическим, поэтому мы им для упрощения пренебрегаем. Тогда

Длительность переходного процесса, соответствующего п. ф. (3.30), практически принимается равной

;пгк2,5Й1=2,5>о=3,.э4о. (3.34)

Подставив это выражение в формулу (3.34), получим

0 = 0,564 У

(3.35)

Прн нахождении по этой формуле величины а задающий сигнал определяется по предварительно вычисленному коэффициенту усиления управляющей части Ре при номинальной э. д. с. преобразователя:

f3=£r.B/Pc. (3.36)

Так как ступенчатое воздействие максимальной амплитуды - сравнительно редкое явление, то значение эквивалентного тока в формуле (3.35) принимается близким к максимально допустимому по условиям коммутации:

(3.37)

Пример 3.3. Рассчитать оптимальную п. ф. следящего привода с вентильным преобразователем в цепн якоря двигателя при отработке максимального ступенчатого задания.

Данные двигателя. Тип П42; Р„=2,2 кет; U„=22G в; /„=13.3 а; Лн = 1000 об/лик; Q=IG5 рад/сек; Rj, = 2,2 см; М = 2,\5 кГ..н; 1 = 2,2.

Данные преобразователя. Преобразователь на тиристорах, реверсивный, собранный по трехфазной мостовой схеме. Ориентировочное сопротивление преобразователя в области непрерывных токов У?„=1,1 о.н.

Дополнительные данные. Требуемая статическая точность следящей системы при моменте на валу механизма Л1м=20 кГ-Л1 и к, п. д. редуктора Т1 = 0,9 составляет бс10,00б5 рад (-Г43"). Максимальная скорость исполиительнон оси £3м = 1,2 рад/сек. Электромеханическая постоянная времени привода 6=0,15 а-к.

Передаточное чисто редуктора

£3н

Коэффициент э. д. с. двигателя

=87,5.

220-13,3 2.2 105

- = 1,82.

Постоянная времени интегрирующего звена

Г,= -!- =с/*р= 1,82-87,5= 159 сек.

значение. При увеличении к растет 1, к уменьшается /г. Прн некотором значении k получим максимально допустимое зиачеиие h и, следовате.чьно, наименьшее возможное значение интегральной квадратичной ошибки /ь

Если передаточная функция выражается уравнением (3.30), то, согласно формулам (3.20) н (3.21), при ступенчатом задающем воздействии по-тучим:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [46] 47 48 49 50 51 52 53 54 55

0.0034