Главная Промышленная автоматика.

Глава 6

ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

6.1. ИНВАРИАНТНОСТЬ

И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Теория иивариаитиоети - один из основных разделов общей теории автоматического управления, который обосновывает синтез структуры и выбор параметров САУ, находящихся иод воздействием возмущений и помех. При выполнении условий инвариантности достигается или независимость (инварианг-ность) регулируемой величины от внешнего возмущающего воздействия и изменения параметров системы, или точное воспроизведение управляюи1,его во.здействия. Первый случай имеет значение для систем стабилизации, второй - для следяп1их систем.

Решая задачи иивариантиости, различают САУ, созданные на основе следуюишх принципов: а) регулирования ио отклонениям; б) регулирования по возмущениям; в) комбинированного. Если СЛУ со многими регулируемыми параметрами создана на основе принципа регулирования по отклонениям, то вся -система в целом будет описываться совокупностью дифференциальных уравнений с переменными

{дУ-х, + (q) х, + ... + ciij (q) Xj.. .-f а,„ (q) x=f [t],

21 (9) + 22 (<7) 2 + . • .. + a,j (q) Xj + .. .+(1. (q) x„=f., [t],

.......................... (6.1)

a„ {q)X, + ал () + ... + a,{q) + ... + a,.„ {q) x„=/,.{t],

a„, {q) X, + a„2 [q) 2 + • • {q)Xj-\-... + a„„ {q) x =/ [t),

где полиномы и.меют, например, вид

(9) = lijf + тцд + r,j, i, 2, .... п.

Определим условия иивариантиости какой-либо /-й координаты Xi{t) от внешнего возмущения /,(/) произвольного вида-Для решения задач иивариантиости рационально воспользо-



ваться операционным исчислением, а именно методом преобразования Лапласа, позволяющим легко выявить роль иачаль-нь.х условий в достижении полной инвариантности, а также простым путем перейти от исходной системы дифференциальных уравнений к соответствующей им структурной схеме исследуемой САУ. Кроме того, с помощью операционного исчисления удается легко обнаружить физический смысл самого критерия инвариантности.

При.менив преобразования Лапласа к уравнениям (6.1), получим следуюП1ие выражения:

an ip) X, + а,2 [р) X, + ... + о,„ [р) X„i\ (р) + (р), а„ (р) X, + а.,, {р)Х,~1- ... + а,„ (р) X„=:F, (р) + R, (р),

.......................... (6.2)

й«, (Р) 1 + ««2 (/?) 2 + ... + а„„ (р) Х„ = F„ (р) + S/?„ ip).

Здесь вторые члены правой частп каждого из уравнений отображают начальные условия. Так, например, для первого урав-нения этот член имеет вид

iP) = In f. (0) Р + х, (0)1 + тппх, (0) + + Iv, (0) р + X, (0)1 + т,,х, (0) + ... + /,„ [х„ (0) р + , + -ЛО)]+т,л(0).

Аналогично вводятся начальные условия и в другие уравнения.

Для определения условий инвариантности Х/(р) от Fi{p) решим алгебраически систему уравнений (6.2) относительно изображения переменной:

a,{p) а,2(р) ... a,j{p) ...aniP) а-м (р) а., (р) ... a.,j (р)... а,„ (р)

««1 (Р) й-п2 {p)...a„j{p).. an iP) - ..auj-i ip) «-i(P) •• • a2.j-i ip)

X,{p)

a„i ip)... a„,j.., ip)

u-i.j+i (P) ...а,„{рУ a-2,j,i{p) ...a.>„{P)

ann (P) Л (Р) + Ш{РУ

!Ар) + Ш(р) Гп{р) + Ж{р}

(6.3)

I a„j;.i iP) ... a„„{p)

Раскрыв главный определитель системы и определитель пра.-вой части выражения (6.3) по элементам /-го столбца и опустив Для краткости записей букву р, получим

12 Зака?. .N-5 156 - 177



DXj ip) = lay My + ajM.j + • • • + My + ... ... + a,jM„,] ip) My (F, + y,R,) + My (F, + + +-.. + M,j [F, + ZR,) + ... + (/=•„ -f y/?„), (6.4)

где Ml/, M.2J, Mi/ -алгебраические дополнения, соответствующие элементам fli/ ... главного определителя системы:

а,112.. . CLy ... fiin

D(p) =

Clo\(l22 • • • •

a.,,

Onj ...a„„

(6.5)

Из выражения (6.4) следует, что для достижения инвариантности Xi{t) относительно [;(/) необходимо и достаточно, чтобы

M,j =

«11

fll, f-i Cl\, уЧ1

2. у-1 2, у Ч • •

««-1.1 ...

а/+1,1 ...

а„, ...

= 0.

(6.6)

Этот критерий инвариантности дает возможность синтезировать инвариантные САУ в классе систем регулирования ио отклонениям.

Аналогично решаются задачи определении условий инвариантности нескольких координат относительно одного или нескольких воз.мущающих воздействий. Однако по мере роста числа переменных и усложнения постановки задачи инвариант-}юсти результаты становятся трудно обозримыми. Для получения простых правил, с помощью которых можно было бы легко получать соответствующие условия инвариантности, в этом случае используются операцнонпое исчисление и обычные npe.i-ставления теории автоматического регулирования и унравления.

Если из выражения (6.4) определить Xi{p), то при нулевых начальных условиях

(Р) = [My ip) F, {р) + ... + M,j ip)F,{p) + ... ... + M,j{p) F,{P)]!D{p).

Считая все возмущения, кроме fi{t), равными нулю, запишем выражение для передаточной функции W(р) между точкой приложения внешнего воздействия fi{t) и точкой измерения координаты Xi(t) как

W (р) = Xj {p);F, {р)=Му ip)lD ip). (6.7)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [57] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

0.0034