Главная Промышленная автоматика.

/J-случайны!"! векторный iiportecc, зависящий от ошибок измерений вектора Y (при >j=0 Y--X); f - вектор случайного процесса возмущений.

Синтез в данном случае сводится к определению вектора оптимального унравления U°, при котором существует минимальное математическое ожидание интегрального функционала •т

М [У] М

t)dt

(5.58)

где F - положительная функция. При вычислении величины М[]\ осредиенне функционала / производится по множествам случайных начальных значений Х(0, } векторов обратной связи и возмущений.

Определение 011тимальиого управления 1(Х, для любого момента времени 0<.1<Т из условия минимума статистического функционала (5.58) при заданном уравнении объекта н случайных сигналах можно осуществить с помощью .метода динамического нрограммироваиия. В этом случае обоби1енное уравнение Беллмана примет вид

-If =min/(X, и, 0 +

+ 0,5 о)

7 dx-i

где rui и О/ - срсдпес значенне и дисперсия случайного процесса возмущении f соответственно; б,/ - коэффициент, равный единице при i=j и равный нулю при i=/=j {ij<.n).

Рассмотренные вариационные методы синтеза дают лишь общую характеристику онтималыюй САУ в целом. Для получения оптимальных характеристик корректирующих устройств в замкнутой системе необходимо делать пересчеты с помощью методов теории автоматического управления. Эти пересчеты несложны лишь для простых линейных стационарных САУ. Для систем высокого порядка и для неизвестных заранее процессов Xbx(0 указанные пути решения задачи синтеза становятся практически певыполпимыми. Оптимизация объекта в таких случаях делается методо.м накопления ипфор.чации и последующего ее применения в управлении объектом. Некоторые сложные САУ рассматриваются в литературе, но и там чаще всего построение оптимальных систем выполнено с помощью ЭВМ.

5.6. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ

ОПТИМАЛЬНЫХ по БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМ

Оптимальные по быстродействию САУ должны обеспечить отработку заданного перемещения, переход с одной скорости изменения параметра иа другую, выполнение задапноп работы



за минимальное время при соблюдении заданных ограничений. Время переходного нроцесса в любой реальной СЛУ пе должно быть меньше определенной минимальной велпчин.ы из-за ограничений, накладываемых на координаты управления и выхода. Онти.мальпые по быстродействию САУ являются частным случаем оптимальных систем.

В оптимальных ио быстродействию системах выполняются ус.ювия минимизации функционала;

J --. \ dt =Т - 0 = rnin

(/с--ьачальный момент управлерпгя объекта; Г - конечный момент, ири котором выходные координаты объекта принимают требуемые значения). Под длительностью пе])Сходного процесса понимают интервал времени Г-/о, в течение которого ошибка СЛУ и ее производные уменьшаются до заданного з!;аче}шя.

Оптимальные но быстродействию САУ используют при обработке больших ошибок. Это, как правило, нелинейные системы из-за наличия в них нелинейности типа насыщения. Кроме того, следует принимать во внимание ограничения, которые накладываются на координаты управления с учетом технологических, экономических и других факторов. Если в тсчерше процесса управления все сигналы в системе удовлетворяют наложенным ограпичепи?1м, то такое управление называется допустимым.

Для синтеза оптимальных по быстродействию САУ используют методы вариационного вычисления. Если множество до-пусти.мых управлений является открытым, т. е. сигналы в системе пе могут принимать граничных значений, то лучше всего применять .метод классического вариационного исчисления. Если же множество допустимых управлений является замкнутым, т. е. сигналы в системе могут принимать гратшпые значения, то, поскольку применение классического вариационного исчисления вызывает большие математические трудности, следует использовать для нахождения оптимального управления принцип максимума. В реальных САУ сигналы всегда имеют граничные значения, поэтому множество допустимых управлений является замкнутым. Синтез системы в этом случае сводится к составлению функции Гамильтона (5.54), которая при оптимизации обтекта управления из условия максимального быстродействия с учето.м /о(, «) = 1 в функционале (5.43) и <!-п= -1 примет вид

n=--i + yi{t)f,(X, 1,)= 1 + я(4, X, U),

где Я (4, X, и) Л U). 15.59)



Если математическая модель объекта управления задана в виде уравнений состояния тина (5.49), функцию Гамильтона (5.59) .можно привести к виду

Я X, U) = (О f (X, и) = ф (t) АХ +

+ ф(/)Виз-4»()АХ + в" (О"-

Уравнение вектора вспомогательных неременпых в этом случае будет следующим:

(t)= -дН/дХ - (t) д/{Х. и)/дХ, (5.60)

а условие макси.му.ма функции Гамильтона (5.48) -

шах Я[ф(Г), Х(Л]} = 1, 0(7)= - 1.

и" (О е и

(5.61)

Затем находят оптимальное управление с учетом ограничения координат )u(/)<Um?.x из условия максиму.ма фу!1кцни (5.59):

U»(0 = .naxSgn(/yu)

или при и,тьх = 1:

иО(0 = 1 • sgn (Яи), (5.62)

где Ни-=дН{,Х, u)/du = B{t); 1 -единичная диагональная матрица

• •

. . .

Уравнения (5.49), (5.60) и (5.62) составляют систему уравнений вариационной задачи синтеза опти.мальных по быстродействию уравнений с 2n + r неизвестными, которые находят при известных начальных условиях Xi{to) и ф<(/о). Обычно известны только начальные значения координат состояния объекта и неизвестны начальные значения.

В настояи1ее вре.мя пет аналитических способов для нахождения 1;/(о) в явном виде, поэтому для их оиределепия используют итерационный метод. Он ос1Юван на последовательном приближении от некоторого исходного началыюго набора значений г)?(о) к окончательной совокупности i;/(/o), которая соответствует ретению оптимальной задачи. Один из возможных способов такого решения заключается в том, что, взяв нрои.з-вольное значение я];/(/о), находят соответствующие им унравления Uy(fo) и траектории x(to)- Если полученные xi (t) совпадают с заданными конечными значениями при t = T, т. е. если вектор состояния Х°(Г) равен заданно.му вектору конечного состояния Х(Г), то выбор начальных значений г;"(/о) с,те-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [55] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

0.0046