первую очередь рассматривается точность управления. Высокоточная система может быть создана с использованием статистического критерия опти.мальности. Устранить полностью ошибки в САУ, возникающие от случайных входных сигналов (помех), практически невозможно. Поэтому и.ставится задача синтеза оптимальной по точности САУ, находящейся под воздействием случайных сигналов.

Синтез таких САУ .можно осуществить различными способами. Один из них заключается в определении оптимальной передаточной функции САУ из условия минимума либо среднеквадратичной ошибки, либо статистического критерия, другой-в определении оптимальных значений параметров САУ с заданной структурой по минимуму среднеквадратичной ошибки.

Рассмотрим часто применяемый на практике способ опрс-fделения оптимальной передаточной функции из условия минимума среднеквадратичной ошибки. При случайных воздействиях ошибка САУ также является случайной функцией и определяется разностью фактического -vbux(0 и за.аанпого x{t) значений выходного сигнала.

Если входной сигнал САУ, состоящий из полезного сигнала Хо{1) и по.мехи fo{i), т. е. (p{t) =Xo{t) +fo{t), является стационарным случайным процессом, а ошибка САУ 8(/) = = .v(/)-.1-вых(/), то среднеквадратичная ошибка выражается как г

= Иш \ [X (О - х„ь,х (t)] dt. (5.54)

Так как выходная переменная САУ записывается как

x„,At)= J ? ( -)ш«(-)б,

то выражение ошибки (5.56) .можно привести к виду

г= lim трг

- со

После математических преобразований получим

I = (0) - 2 j (т) R, (-С) d-. f

+ -вых(-)- х,,,А>л) RoiAdu (5.55)

где /?.,(0)= lira - f xAt)dt;

7-»со

R,o{t) = lim \ x{t)<f{t-z)d; r

Синтез оптимальной по точности САУ заключается в оиределе-нии частной передаточной функции WЦ(х)) замкнутой системы, которая обеспечивает минимум значения е. Минимальным значение среднеквадратичной ошибки, рассчитываемой по (5.55), будет в том случае, если при т>0 выполняется условие

() - f (X,) (X,) dh = о, (5.56)

которое называется уравнением Винера - Хопфа. Ренгеиие этого уравнения определяет значение двых(/), которое связано с частотной передаточной функцией W{j(a) известным соотгю-нюиисм

На осгювагши уравнений (5.54) с учетом условия физической осуществимости, т. е. при КО .\вых(О=0, было получено выражение для оптимальной частотной передаточной функции замкнутой СЛУ:

e-J"df

Sjcy ((>)

е"" d-

где if (/(!))-частотная функция фиктивного фильтра; 8.щ - взаимная спектральная плоскость для Ях(({т); г;*(/ш)-сопряженная частотная функция для уЦш). При .-пом »(yci))ip* (/(о)

{/<») = 5ф(о)), где 1;(/о))-спектральная плотность сигнала (р(0-

При подстановке в частотную функцию Womiji-o) р--]ы получим оптимальную передаточную функцию Wantip) системы в онераторной форме, которая также обеспечивает минимум среднеквадратичной ошибки при наличии па входе системы полезного сигнала и помехи в виде случайных фу!1книп.

Синтез оптимальных СЛУ рассмотренны.м методом причме-няется в тех случаях, когда выполняются следующие условия: точки входа в СЛУ полезного сигнала и помехи, являющихс;)

функциями стационарных случайных процессов, совпадают,. т<1к как системы одномерны и выполняется едипственное условие осуп1,ествимости: при <0, Хвых(О=0 статические характеристики случайных сипталов внешних воздействий известны. Практически реализовать полученное выражение передаточной функции Worn ip) невозможно, поэтому для упрощения принимают приближенное значение W{p).

В общем случае для нахождения передаточной функции СЛУ по критерию минимума среднеквадратичной ошибки можно воспользоваться уравнением

(5.57)

Здесь .\„пт(0 и x{t)-выходные переменные оптимальной СЛУ, имеющей 1уопт(р) при действии полезного сигнала совместно с гюмехой и только одного полезного сигнала соответственно; .vi (О - выходная переменная реальной СЛУ, передаточная функция которой будет оптимальной при выполнении условия. (5.57).

Если в реальной СЛУ ai(0--voni(0> то с учетом уравнения (5.57)

ет1п = Ж [Хо„т {t)\ -М\Х (О Ло,„()].

Полученное уравнение минимизирует среднеквадратичную-OHJHOKy для любого мо.мента времени. Определив передаточную функцию СЛУ, переходят к реализации ее звеньев. На практике большая часть элементов САУ задана и не может быть из.мерепа. Поэтому для реализации динамических характеристик, близких к оптимальным, в систему вводят корректи-руюи.1ие устройства, определяемые передаточными функциями заданной части САУ и опти- xfot

мальной Wo.,.(p). Решение этой части задачи можно осу-uiecTBHTb разными известными методами, в том числе и частотно-логарифмическим.

Построение оптимальных по точности работы САУ при случайных сигналах, Обобще1шая структура проектируемой оптимальной СЛУ представлена на рис. 5.5. Здесь ОУ -оптимизируемый обт:,ект управления, описываемый па интервале времени [О, 7] векторным уравнением вида Х=Ф(Х, и, f, 0; ~ устройство управления; ДОС -датчик обратной связи; X (О,/)-случайный вектор начальных фазовых координат с заданной плотностью вероятностей; и-вектор управлении, ограниченный по значению (uet/); X -вектор состояния; -вектор обратной связи, определяемый функцией Y---*i(X, u,n,t)\

Рис. 5.5.