Следовательно, при решении задач по принципу максиму.ма составляют функцию типа (5.45), записывают уравнения (5.47), из которых находят оптимальные управления и° (i) или и°(Л). При этом решение задачи оптимизации сводится к решению дифференциальных уравнений в многомерном иространствс. Расчет максимальной функции Гамильтона Н*[и) и определил название метода. Этот метод находит широкое применение при синтезе максимально быстродействуюн1,их САУ.

5.5. ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ

ОПТИМАЛЬНЫХ ПО ТОЧНОСТИ СИСТЕМ

Оптимальные по точности С.\У должны обеспечивать в требуемых режимах работы заданную точность. Режимы работы этих систем могут рассматриваться либо при детерминироваиных, либо при случайных сигналах. В первом случае С.ЛУ имеют минимальную суммарную (интегральную) ошибку за время переходного процесса. При этом обеспечивается минимальное отклонение координат объекта от заданны.)с значений с учетом ограничений сигнала управления. Во втором случае оптимальные по точности САУ при случайных сигналах имеют минимальную среднеквадратичную ошибку при заданном входном случайном сигнале.

Перед синтезом оптимальной по точности СЛУ ставится задача нахождения закона оптимального управления, который связывает векторы координат состояния и управления из условия минимума функционала, характеризующего основной режим работы объекта. Минимизируемый функционал, т. е. критерий качества, с одной стороны, должен соответствовать наилучшей работе объекта, а с другой -быть таки.м, чтобы вариационная задача решалась аналитически. При синтезе оптимальных по точности систем широко применяют квадратичные интегральные критерии качества, содержащие координаты объекта и управления. На практике возможны разные задачи оптимизации объектов по точности. Рассмотрим некоторые из них в случае действия на СЛУ детерминированных сигналов.

Оптимальная стабилизация режимов объекта. Пусть математическая модель объекта записывается как

x = AX+Bu=/(X, U), (5.49)

где Л -матрица размерностью (пХп); В -матрица размерностью пХг при г координатах управления, а минимизируемый функционал имеет вид

/ п т \ .

или в векторной форме 164

У = 0,о f (XQX + uRu) (5.50)

где Q, R - диагональные матрицы весовых коэффициентов для qi>0 и г;>0 соответственно; Т - знак транснонирования векторов. От весовых коэффициентов зависят ограничения соот-ветствуюншх координат. Если какой-либо коэффициент равен нулю, то соответствуюн1ая координата никаких ограничений не имеет.

При решении поставленной задачи принципом максимума находят закон управления, обеспечивающий малые отклонения вектора от заданного значения при малой затрате энергии на управление:

иО(Х)= -R-ВКХ (0. (5.51)

Здесь К -матрица коэффициентов размерностью пХп, состоящая из постоянных коэффициентов кц>0. Выражение (5.51) минимизирует квадратичный функционал (5.50). Опти.мальное управление является линейным, если нет ограничений координат управления. При наличии ограничений типа u{t)U получим нелинейный закон управления:

( + Итах при ko. с-Х {t) U

И0(г!) = - «шах при /о.с .(0 <-"max, ko.Xit) При *o.sX(;);<«n,ax

{кох - коэффициент обратной связи СЛУ).

Оптимальная стабилизация выхода объекта. В это.м случае уравнения объекта рассматриваются с учетом вектора координат выхода:

X = AX4-Bu, Y = CX, (5.52)

а минимизируемый функционал имеет вид

У = 0,5 f(YQY4-uRu)

или, с учетом уравнения (5.52),

У - 0,5 j (XQQCX + и Ru) dt.

При полностью наблюдаемом объекте функционал вырождается в функционал (5,50). Задача стабилизации в этом случае сводится к рассмотренной ранее стабилизации режима работы. Закон управления иО(Х) (5.51) обеспечивает малые отклонения вектора выходных переменных Y. Поскольку он выражен

через вектор состоянии X, то решение задачи стабилизации режима работы объекта является более общим.

Оптимальное управление объектом по произвольиому закону. Пусть объект описывается уравнениями (5.52). На выходе САУ требуется обеспечить значение вектора Утр с минимальной затратой энергии на управление. Тогда минимизируемый функционал относительно вектора ohihok", равного AY(0-=Y,p(/)--Y(0, будет иметь вид

У гг.. 0,5 1" [AY (t) QAY + uRu] dt,

или, учитывая уравнения (5.52), получим

у = 0,5 j [(Y,p - СХ) Q (Y,p - СХ) + и Ruj at.

Поскольку данпын функционал содержит вектор Утр (О требуемого процесса на выходе, то решение приводит к тому, что теку1цее значение оптимального управления зависит от будущих значений требуемого выходного сигнала. Реализацию такого оптимального управленния можно осуществить лишь при знании требуемого процесса Yti)(0-

На практике эту за.ачу иногда можно свести к задаче оптимальной стабилизации выхода объекта. Так, например, задача оптимального управления одномер1Иэ1М объектом по требуемому закону Xnx{t), дифференцированному п раз и удовлетворяющему условию

Ч"хЧо+2«.-/-;,гчо=о, . (5.53)

состоит в оптимальном управлении выходным сигналом обь-екта y{t). При этом закон управления (7°(Х) выражается зависимостью (5.51) и обеспечивает оптимальное управление объектом только при таких требуемых сигналах, которые удовлетворяют уравнению (5.53).

Для аналитического синтеза опти.мальных по точности работы САУ можно использовать методы классического вариационного исчисления, динамического программирования и принципа максимума. Однако в реальных условиях па объект оптимизации по точности действуют разные случайные возмущения: начальные значения фазовых координат неизвестны, текунще значения координат не всегда могут быть измерены, параметры объекта измеряются случайным образом, поэтому теория детерминированного управления в таких случаях не применима. При оптимизации этих объектов необходимо использовать статистические методы теории оптимальных САУ.

При синтезе САУ со случайными входными сигналами в