Главная Промышленная автоматика.

г Т

j F{X, u, t)dt

(5.39)

гдо /о-гЛ/- момент времени в интервале to<(<T; Хд( = =--Х (/о)-1-АХ--вектор координат выхода в момент to-kt.

Если to - фиксированный момент времени, а - малое положительное число, то можно 1!реобра.зовать функцию (5.38) к виду

°j"V(X, U, t)dt+ [ F{X, u, t)dt

S{t, X) = min

или с учето.м выражения (5.39) S{f, X) = mm "

FiX, u, t)dt-{-S{to + M, r, ХдО

(5.40)

Ha основании функции (5.40) выводится нелинейное дифференциальное уравнение Беллмана в частных производных относительной функции S{t,K):

min /-"(X, u, t) +

[liiii <

(5.41)

при следующих условиях:

A-,(0 = 9,(X, u, 0; X{t)eM; u{t)U; го < < 7\

Из peuiCHiui уравнения (5.41) находим оптимальное уравнение u"(/). Соответствепио полученной величине и" (О но уравнению (5.37) определяем опти.мальную траекторию вектора выхода \°{t). Если уравнение (5.41) невозможно рсишть аналитически, то применяют численное решение в виде многошагового процесса. Это решение приближенно и выполняется обычно с использованием ЭВМ. Для этого заменяют исходные уравнения объекта (5.37) конечно-разностными уравнениями:

ЛХ, = Ф(Х,.1, и,)Дг; Х, = Х, ,Ч-ДХ,; Х„ - X (0; X.v = X(-7): ы, = и, , + Ди,; At =:(Г- t,)

функционал (5,36) преобразуют к виду

J = 2F,(X,-u и,)At,

Где /г=1, 2, N {N - число принятых расчетных шагов (интервалов) ).

U Заказ № 160



Оптимальный процесс определяют после нахождения значений оптимальных управлений на каждом шаге и , , (при условиях UkU и Хо = Х(о)) и после обеспечения минимума функционала (5.36) и выполнения условий Хо = Х(/о), Хл, = Х(Г). При решении задачи оптимизации участки процесса рассматривают в обратной последовательности, т. е. от конца процесса к его началу.

Метод динамического нрограммироваиия весьма ycneunio применяют для оптимизации дискретных САУ. В таких задачах уравнения динамики представлены в виде конечных разностей. Это позволяет сочетать принцип оптимальности и возможности ЭВМ. При оптимизации объектов с направленными процессами возникает необходимость дифференцируе-мости вспомогательной функции Беллмана (5.38) во всех точках фазового пространства. Это требование не всегда выполнимо даже в простых задачах. Трудность решения задачи опти.мизации методом дина.мичсского програм.мирования обусловлена также тем, что функция (5.38) заранее неизвестна, а уравнение Беллмана (5.41) содержит частные производные. В настоящее время не существует общего способа определения вспомогательной функции Беллмана (5.38) в явной аналитической форме.

Метод принципа максимума разработан советским ученым Л. С. Понтрягиным и является расширением классического вариационного исчисления на случай, когда управляющие воздействия ограничены и описываются кусочно-непрерывиыми функциями. Задачей опти.мизации тогда является онределсние оптимальных управлений и° (t) и траектории \°{t) из условия нахождения экстрему.ма функционала (5.36) для заданных уравне]шй объекта (5.37) при начальных и конечных значениях Х(/о) и Х(), а также заданном интервале времени to-i-T с учетом ограничений X{t)M и u{t)U.

Доказательство принципа максимума основано на понятии игольчатой вариации, которая представляет собой прирап1ение варьируемой функции оптимального управления и°(0 на бесконечно малом отрезке времени е (в предельном случае - в точке). Прирап1ение функционала при игольчатой вариации управления будет бесконечно малым. Оно обращается в н-ль, если вариация берется относительно оптимального управления «"(О- Из этого условия в конечном счете и следует принцип максимума. Сущность принципа максимума состоит в следующем. Пусть математическая модель объекта оптимизации задана в виде уравнений состояния:

Xi~fi(x, Хг, ... , х„; Hj, w,, ... , llr) (i=l, 2, ... , я)

(5.42)

или в векторной форме: Х=/(Х, U),



где г-количество координат управления. Сигналы управления .могут и.меть ограничения для всех г коо;)Динат m/<U/. При оптимизации объекта требуется определить вектор управ-ляютего воздействия n(t) с учетом ограничений из условия минимума функционала

У = [/о(Х, и)аг. (5.43)

в общем случае правые частп уравнения (5.42) и подыите-гральная функция (5.43) могут зависеть от времени. При рассмотрении задачи онтимизапии вводится вектор вариации траектории:

SX = X(0-XO(0.

Закон изменения вариации, являющейся бесконечно .малой величиной, выводится из уравнения в вариациях

Вектор вариап,ии Ьх характеризует изменение критерия опти-малы!ости 6/, который при /=7 описывается скалярным произведением вектора вариации 6Х(7) и вспомогательного вектора {Т), т. с. 6/=-()Х(7")(( (Г). С помощью функции Гамильтона для исклассичсских вариационных задач

Я* = (i) /, (X, 11) = ф (t) fix, u), (5 45)

где V nit}f, (5.46)

системы (5.42) и (5.44) могут быть записаны в виде системы канонических уравнений Гамильтона для псклассических ва-. риацисиных задач, которые справедливы и для классических:

dx, 6Н* rfi; ОН* /-10 Ч ,S л7

IITW -lf=~exi (=-1. 2, «)• (й-47)

Необходимые условия оптимальности упраолепия формулируются следуюп1им образом: чтобы управление u{t) и соответствующая ему траектория X{t) были оптимальны, необходимо су;цествованпе ненулевой вектор-функции яр(0. составляюнтие котооой (см. выражение (5.46)) удовлетворяли бы системе уравнений (5.47), чтобы ири /о</<7 функция Я* из (5.45) достигла .максиму.ма при «°(0. т. е.

Н* (О, X{t), иМг)]=тах, а в конечный .момент t=T выполнялись бы также соотношения %{Т)0; шах [ф( Г), X (/)])= О (5.48)

и«(/)0(/

(при этой припимают-г1:о=-!)•

11* 163





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [52] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

0.0049