Главная Промышленная автоматика.

ниям условной плотности вероятности для точки А определим Хл более вероятные значения у


Рис. 5.2.

(например, иа рис. 5.2 и Ул). В результате найдем наи-прн заданных значениях х, которые соответствуют вероятностной статической характеристике объекта y = f{x).

При исследовании сложных многомерных объектов графическая интерпретации статических характеристик становится затруднительной из-за повышения размерности пространства переменных. В этом случае используют наиболее удобный и наглядный математическт"; аппарат корреляционного и регрессионного анализов, характеристик объекта методом практике требуется задание па-

Определение статических корреляционного анализа. На

чальпого условия математического ожидания случайной выходной перемегпюй Y относительно случайной входной иеремеи-пой X:

м [ г:х] = <р (Л-),

где (f{x)-некоторая функция, связывающая среднее значение величины Y относительно случайной величины X с каждым данным значением .v.

Для одномерного объекта наиболее распространенным видом функции (f{x) является линейная регрессия

М[Г X] =ао-\-а,х,

где ао, ai - коэффициенты регрессии, рассчитываемые через математические ожидания M{Y), М[Х], среднеквадратичные отклонения Оу, Ох и коэффициент корреляции p.v величии у п X как

ао=М[У\ - а,М[Х]; а, = р„а/а,.

Уравненне и коэффгщиенты регрессии можно получить в результате обработки данных пассивного эксперимента. Предположим, что в результате эксперимента получено поле корреляции (рис. 5.3, а). Разбив весь диапазон изменения входной переменной х на ряд равных интервалов, отнесем к середине каждого интервала х,- все точки, находящиеся в нем. Получим трансфор.мированноо поле корреляции (рис. 5.3,6). Затем подсчитаем полученные экспериментально частные средние арифметические yi для каждого значения Xi по формуле




,----н f

где Hi - число точек, оказавшихся в интервале. При этом суммарное число точек на всех интервалах равно числу измерений, т. е. Е.Пг = Ы. Последовательно соединяя линией точки, определяемые величинами г/экспг, получим эмпирическую линию регрессии у по Ужст = = i(x) (рис. 5.3, й). Эта линия показывает изменение у в функпии от X. Чем большее число измерений, тем точнее отражается закономерность полученной эмпирической липни регрессии. Предельное положение, к которому эта линия стремится при Л-oo, называется предельной теоретической линией регрессии.

Задачами корреляционного анализа являются определе. ние линии регрессии при конечном числе измерений и расчет коэффициентов регрессии «о и а,-, например способом наименьнгих квадратов. При нор.мальпом законе распределения выходного сигнала более точные значения коэффициентов уравнения линейной регрессии можно получить -мри вьшол1!еиии условия

Л

л = .Узксп i Зтеорг . ~

= min,

Т. е. сумма квадратов отклонений экспериментальных значений (Ужспг) и теоретических

(Утеор i) должна быть паи.меньшей. Из графика вероятностн.ой статической характеристики объекта управления (см. рис. 5.3, в),

•которая получена методом корреляцио!П10го анализа: г/теор= = ao + ai.v, видно, что ао = г/теор(0) и a, = -tga.


Рис. 5.3.



Рассмотренный метод справедлив и для многомерных объектов управления, у которых уравненне линейной регрессии

Яеор «о + i-i + ах, + ...-+- а„л-„, (5.13)

где Xi - независимые входные переменные объекта управления.

Для множественной корреляции рассматривают обычно не линию регрессии, а плотность или гиперилоткость регрессии. Коэффициенты уравнения (5,13) можно определить как

а, З/у .v;-; «о = М [ V] - 2 а,М Щ\,

где Р/ - коэффициенты стандартизированного уравнения регрессии; Оу. Oxi - среднеквадратичные значения отклонений переменных; f[KJ, М[.r/J - м ате.матичсские ожидания средних значений нсремсиных Y и Xi.

Для оценки достоверности связи неременных на входе и выходе устройства вводится коэффициент множественной корреляции {R), значение которого изменяется от единицы до нуля. Если R=\, то связь между переменными у vi х функциональна и определяет вероятностную статическую характеристику многомерного объекта. Если R - 0, то корреляционная зависимость между перемеины.ми отсутствует. Следовательпо, чем выше значение R, тем точнее по значениям .v,-/ можно рассчитать у. Указанное изменение R можно объяснить либо тем, что выбранная форма уравнения регрессии (5.13) не учитывает всех реальных факторов и всех входных переменных, либо действительная зависимость является нелинейной и существенно отличается от выбранной линейной регрессии (5.13). В последнем случае следует использовать уравнение нелинейной регрессии, например, вида

п п

Достоверность полученной вероятностной статической математической модели объекта управления зависит от организации и методики проведения эксперимента.

В настоящее время существует большое количество методов экспериментального опрсделе1ши динамических характеристик объектов унравления. В качестве динамических характеристик линейных объектов с постоянными параметрами можно рассматривать частотные характеристики, импульсные переходные функции g{t), передаточные функции и т. д.

Метод экспериментального определения частотных характеристик может быть использован для обработки данных активного и пассивного экспери.ментов. В первом случае на вхоД





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [47] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

0.0034