значение вектора выходной координаты соответствует начальному состоянию объекта управления Х(о] в момент о-

Обозначим через X(ti) состояние детерминированного объекта управления в момент Множество состояний этого объекта назовем пространством состояний. Величина Щ1) будет отражать состояние объекта управления при выполнении следующих условий: во-первых, выходной сигнал x{t) будет однозначной функцией входного гиг::ала u{t) и начального состояния объекта управления Х/о), ио-вторых, любым значениям u{ti) и x{ti) в момент ti будет соответствовать некоторое состояние \(ti), которое принадлежит пространству состояния объекта управления, в-третьих, пе::оторому состоянию Х(/,) будут соответствовать значения u[ti, /] и x[ti, ]. Тогда уравнение (5.8) динамики объекта, представляющее математическую мо--дель общего вида, можно выразить эквивалентной системой уравнений первого порядка, определяющей математическую модель в виде системы нормальных уряглюпий:

Xiit) = A{Xi x-i, . •, и); X:(t)-f.,{Xu X.,, Х„; и);

............. (5.9)

Если уравнения линейные и имеют постоянные коэффициенты,, то

{t) ~ a„x, (О + a-iXo (t) -f ... + () + {t); a2 (г) = a.,x, (t) + a,.,X2 (0 -f • •. + a.>„x„ {t) -f b.u (t);

x„ (t) = a,,Xx it) 4- aix-i () 4-. •. + {t) + b,u (t}.

Эту систему уравнений можно представить в виде

Xi {t) = 2 Л- + " = Ь 2, ...., п)

или в векторной форме Х=АХ + В«(0.

Хг ii)

где Х =

X2{t)

Xnit)

X, (t)

а,, а,.> ... а

х„ it)

}. а

(5.10) (5.11)

• u (О - скалярная всличш.а для объекта управления с одним регулирующим органом.

Если объект управления имеет несколько регулирующих органов, то ypanneiL.ie диис.мики в векторной форме

X = AX + Bu. (5.12)

где В - матрица размерностью (пХг); и - вектор, состоящий из г уравнений, u(l) = \\ui(f), Ui(t), U2(t)A{T - 3t]aK транспонирования, т. е. перестановки элементов матрицы в столбец).

На практике не всегда удобно использовать уравнения динамики (5.10) - (5.12), поскольку коэффициенты ац и.меют в большинстве случаев сложные зависимости от коэффициентов исходного уравнения (5.8). Кроме того, при скачкообразных функциях U[{t) производные координаты x{t) претерпевают разрыв и изображаю!цая точка будет совершать скачки в фазово.м пространстве. Поэтому математически более рационально представить модель объекта управления либо в виде нормализованных уравнений состояния, выраженных через фазовые координаты и коэффициенты а,-, либо в канонической форме уравнений, либо иначе. Независи.мо от принятой фор.мы записи математической модели объекта управления она должна паилучши.м образо.м отражать статические и дипа.мические свойства объекта, а также быть удобной для решения задачи оптимального синтеза САУ.

Если для реальных объектов управления урависпня неизвестны или же их составление чрезвычайно сложно, то д.ти определения математической .модели используют методы идентификации, которые основаны на анализе характеристик объектов управления, полученных в результате эксперимента. При решении задачи идентификации объекта управления определяют степень и форму взаи.модепствия между входными и выходными переменными; качественно оцешпзают степень идентичности модели объекту-оригиналу и нелинейность получения линеаризованной модели с достаточной точностью, а также стационарность и эргодичность исследуемых случайных процессов. Для простейишх одномерных объектов ответ на некоторые из этих вопросов может быть получен на основе физического, технологического или другого анализа.

Наиболее совершеины.м средством математического описания объекта управления являются экснеримеитально-статнсти-ческис методы, которые основаны на разработке экснеримсп-тальиого материала, полученного непосредственно на действующем объекте. При этом супествуют два способа накопления исходного статистического .материала: пассивный и активны. эксперименты. Пассивный эксперимент основан на регистрации контролируемых пара.метров процесса в режиме нормальной работы объекта без внесения каких-либо преднамеренных воз-

мущсиин. Активный эксперимент основан на использовании искусственных возмущений, которые вводятся в объект управле-ни; по заранее сплаиироватюй программе.

Для обработки экспериментальных данных используют аппарат математической статистики (регрессионный и дисперси-oiuibiii анализы), позволяющий получить простой вид математических описаний. Применение статистических методов требует большого объема вычислений, но зато позволяет решить задачу идентификации даже в тех случаях, когда обычные де-тер-министичсские методы непригодны. Рассмотрим два основных метода идентификации статических характеристик одномерных и многомерных объектов управления в результате пассивного эксперимента.

Определение статических характеристик объекта ио плотности вероятности. Этот метод может быть использован при исследовании безынерционных одномерных объектов. При пассивном экспсри-мснте одновременно наблюдают и регистрируют ряд зпаченпй входной ,v(/,) и выходной y{ti) переменных объекта. В процессе нормальной эксплуатации объекта эти переменные изменяются случайным образом. Поэтому мгновенные значения их можно рассматривать как реализации случайных величин X и Y. Связь между реализациями хну также и.меет случайный характер. Из пассивного эксиери-мспта удобнее опре-,делить не y=f(x), а оператор, характеризующий математическую зависимость между двумя функция.ми, в данном случае - преобразующий характеристику x{ti) случайной величины X в соответствующую характеристику y(ti) случайной величины У. Тогда, используя найденный оператор, молено по заданной характеристике входной переменной определить характеристику выходной.

Одной из достаточно полных вероятностных статических характеристик объекта является кривая условной плотности вероятности Р{у1х). Для оценки условной вероятности у{р{х1у)) появления у при данном х и р(у/х), а также появления х при данном у можно воспользоваться следующими формулами:

р (ху) р (у, х):р [у] р {у:х) --= р (у, х)!р (х).

Поскольку плотность вероятности p{xi) есть вероятность того, что данная величина х находится в интервале xi+dx, то принимаем найденные значения р(х/у) и р(у/х) за оценки плотности вероятностей Р(х/у) и Р(у/х) для значений х и у, которые соответствуют середине рассматриваемого интервала. Обычно условные плотности вероятности Р(у1х) принимают за полные статические характеристики объекта управления. Эти характеристики изобрал<ают в пространстве координат [х, у, Р(у/х)] (рис. •2). Они позволяют определить вероятностную статическую Характеристику объекта управления по максимальны.м зпаче-

10 Заказ .V. 166 145