Главная Промышленная автоматика.

Глава 5

ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

5,1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ

Синтез любой САУ выполняется на основе задачи управле-ия, которая определяет ос1ювную цель при разработке систе-ы управления. Математическая формулировка цели управле-ВИЯ (задашгая гоч1гость, быстродействие и т. д.) и 1газьгвается Ъадачей управления. Часто полученная САУ не выполняет по-ктавленную задачу с наилучшим результатом. Система, которая Ъбсспечивает наилучшие показатели качества при заданных реальных условиях работы и ограничениях, называется оптимальной. Например, система может максимально точно выполнять возложенную на нее задачу управлении конкретным технологическим оборудованием; может осуществлять 1гаиболее быстрые переходы из одного заданного состояния в другое или вообще из любого начального состояния в требуемое при огра-ничекноп мощности; может потреблять м !Иимальное количество энергии для выполнения задачи управл;п!ия при заданных внешних условиях и т. д.

Критерии оптимальности. При оптимгзации САУ в каждом отдельном случае должен быть правильно выбран критерий оптимальности, выраженный в математической форме. Обычно для определения его требуется интегрировать во времени какую-либо функцию, которая зависит от текущего состояния объекта, т. с. критерий оптимальности является функционалом, значение которого определяется зада1!ием функции. Функционал, как правило, составляется так, чтобы условием оптимальности системы как в случае мипи.мума, так и в случае максимума требуемого показателя качества системы был именно Минимум этого функционала, а не его максимум.

В обп;см случае функционал зависит от координат выходного сигнала Xi{t}, управления Ui{i) и возмущающих во.здей-ствий fi{t) и может быть представлен в виде интеграла



J= j /(-i -2, • • • - «1. ih- •.., /i, /2, • •. , Л

.ялн В векторной форме и

У= J7(X, и, Е)б?,

где X, и, F- векторы координат выходного сигнала, управления и возмущений соответственно; [/i, /2] - интервал времени.

Критерий оптимальности часто задается в виде интегрального квадратичного функционала от нескольких функций:

J = ]yc\x]{l)dt или У= 122(0 й?,

о г-1 /, (=1

где d и Xi - весовые коэффициенты функций; t - вре.чя (или любая другая физическая независимая переменная).

Функ!1ионал, минимум которого необходимо найти, может представлять собой любую желаемую комбинацию различных качеств проектируемой САУ. Выбор критерия оптимальности является творческой инженерной задачей, которая .может быть решена на основе всесторсипего изучения управляемого технологического, оборудования. Трудности выбора критерия оптимальности объяс1;яются тем, что требования, предъявляемые к работе САУ, часто оказываются противоречивыми. Наприхмер, высокоточные САУ имеют ограниченное быстродействие, а бы-стродействую[.чие - ограничспиую точ1юсть. Кроме того, сложность решения задачи зависит от сложности принятого критерия. Если показатель качества соответствует большому количеству требований к САУ, то синтез ее возможен лишь численными методами для какой-либо частной задачи. Для нахождения рснтсипя в явной форме должны быть использованы простые показатели качества, которые не отразят многих требований.

Рассмотрим некоторые типы критерия оптимальности в зависимости от их приналлсжкости к переходному или установившемуся режимам работы одномерных и многомерных СЛУ. Для достижения максимальной точности работы САУ в постоянном режи.ме можно пользоваться критерием минимальной ошибки, который определяется иптеграло.м

J--]x-,t)dt, (5.1)

где x{t)-отклонения управлясмо1о параметра от заданного значения; [О, Т] - рассматриваемый интервал времени. Мшш-мизация функционала физически означает ограничение суммар-



НОЙ ошибки отклоне1гия выходной координаты САУ и длительности ее существования. Для обеспечения .максимальной точности работы САУ при случайных воздействиях критерием оптимальности может служить среднеквадратичная ошибка системы:

7=Р = Urn Г е2 {t) dt = min,

7-.00 J

где 8(0-реализация стационарного случайного процесса, которая используется при нахождении оптимальной передаточной функции САУ и ее параметров с учетом условия минимума среднеквадратичной ошибки. Для обеспечения максимальной точности работы в динамическом режи.ме при влиянии конкретных возмущений критерий оптимальности может выражаться интегралом

J = \g{t)f{t-\)dt, (5.2)

где g-(О - импульсная переходная функция. Если функционал (5.2) равен нулю, то обеспечивается инвариантность САУ к возмущающим воздействиям.

Для достижения максимального быстродействия САУ можно воспользоваться критерием миии.мальности времени переходного процесса при заданных ограничениях для координат:

/ = 1" Iflf - 2 - = mln. и

Теория оптимальных по быстродействию систе.м в настоящее время разработана наиболее полно. Результаты ее можно распространить и на другие критерии оптимальности.

Создание оптимальной САУ по условиям инвариантности координаты Xi{t) к функции внешнего воздействия fk{t) можно -осуществить, минимизируя функционал, называемый критерием инвариантности, в виде

J = jxAt + .)fl{t)dt. (5.3)

При наличии многомерного объекта для обеспечения независимости координат Xi{l) и Xj{i) друг от друга используется •критерий автономности, который характеризует соответствую-Цие взаимные корреляционные функции: г

= \xUi + )x(t)dt. (5.4)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [44] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

0.0037