Главная Промышленная автоматика.

(0 +

Сигналы в импульсных САУ могут быть представлены в виде дискретных (или так называемых решетчатых) функций времени, значения которых определены для дискретных моментов t = nT (п - целое число, а Г -период повторения). Между этими значениями независимой переменной дискретная функция равна нулю. Любую непрерывную функцию f(t) (рис. 4.4, а) можно заменить дискретной (решетчатой) (рис. 4.4, б):

/[ПГ] f{t)\tnT.

Ординаты, определяющие дискретные значения решетчатой функции в одинаковые моменты времени, называются дискретами. Дискреты f{t) могут быть также определены н для смещенных моментов 1=пТ-\-АТ (рис. 4.4, в). Это позволяет просматривать процессы внутри периодов с дискретностью Т. Смещение ДГ= = const может иметь положительное значение (как показарю на рис. 4.4, в) или отрицательное - при выполнении условия li\ri<7.

Рсн1етчатая функция может формироваться не только из какой-либо исходной непрерывной функции. Любая числовая последовательность некоторой величины, которая определена в дискретные одинаковые моменты времени, также может быть представлена в виде решетчатой функции. Аналогом дифференциалов непрерывной функции для решетчатой являются разности, а аналогом интегралов - суммы. Первая разность, т. е. разность первого порядка, решетчатой функции определяется выражением

f[nт\.f\nтт\-f[n\. (4.2)

Вторая разность, т. е. разность второго порядка, определяется как первая разность от первой разности:

f[nT\=lf\nT-{-т\-f[nTl

а учитывая выражение (4.2),

AV[nr}f[nT-{-2T] -2/[пТ+ТИ-/[п71


ST пТ

Рис. 4.4.



Разность й-го порядка

дк/[л7-] ==А<-1/1яГ+Г]-А-7[№Г]. (4.3)

Для решения разностных уравнении (4.3) удобно воспользоваться операционным методом, основанны.м на дискретном лреобразовании Лапласа в соответствии с формулой

F4p) = f\nT]e-P\ (4.4)

л= о

где f *(/?)-изображение оригинала дискретной функции /[/г/]. Эта формула является обобщением па дискретные функции обычного преобразования Лапласа

F{p) = L\f{t)\=y{t)er>tdt, (4.5)

где F(p)-изображение оригинала непрерывной функции /(/).

Как видно из формулы (4.4), дискретное преобразование устанавливает функциональную связь между решетчатыми функциями (сигналами) и их изображсиия.ми, которые являются функциями величины е~р. По существу, выражение (4.3) есть сумма изображений всех б-функций, входящих в формулу (4.1). i Для исследования импульсных САУ на практике весьма распространено г-преобразование, которое получается из дискретного преобразования Лапласа путем подстановки 2 = ":

F{z)=Z[f{nT]\=f{nT]z-\ (4.6)

где F{z)-изображение в соответствии с 2-преобразованием. к При исследовании динамических свойств САУ в первую оче-рдь необходимо определить ее передаточные функции. Рас-рмотрим сначала передаточные функции импульсных САУ. Передаточная функция разомкнутой импульсной системы - это Отношение изображений (в соответствии с дискретным преоб-)азоваиием Лапласа) выходного и входного импульсных сигналов (см. рис. 4.3,а) ири нулевых начальных условиях, т. е.

Аналогично определяется эта передаточная функция в соответствии с г-преобразованием:

1 W{z)=Y{z)IE{z).

Для определения передаточной функции W{z) по известной Передаточной функции приведенной непрерывной части СЛУ {р) необходимо сначала с помощью обратного преобразовп-



ния Лапласа найти весовую функцию непрерывной части системы:

w{t) = L\W{p)].

Затем ио этой функции определяют соответствующую ей дискретную (решетчатую) весовую функцию w[nT], но которой, используя 2-преобразования, находят искомую передаточную функцию:

W{z)=Z[{w)[nT\].

Последняя формула показывает, что передаточная функция разомкнутой импульсной системы равна изображению выходного сигнала, который представляет собой решетчатую приведенную весовую функцию vd[iiT\ и отличается от обычной его функции для непрерывной части системы дополнительным множителем, имеющим размерность времени.

Передаточная функция замкнутой импульсной систе.мы, определяемая в соответствии с уравнением замыкания через дискретную передаточную функцию разомкнутой САУ (см. рис. 4.3, а)

i,z)=Y{z)!X{z)W{zy\\ + W(z)\, (4.7)

позволяет вычислить реакцию за.мкиутой СЛУ на задающее воздействие. Если передаточную функцию (4.7) представить в виде отношения двух полиномов относительно переменной z:

где aq, Um и йо, bk - некоторые постоянные коэффициенты, то .можно записать следующее уравнение:

\az- +... + -f ао] Y{z) = [b.z" + ... + bz + b,] X (z).

(4.8)

Приравнивая левую часть этого уравнения к нулю, получаем характеристическое уравнение замкнутой импульсной САУ:

М(2) = az" + а.г"-» -- ... + аг + а». (4.9)

При переходе в уравнении (4.8) от изображений к оригина-ла.м записываем разностное уравнение СЛУ:

«тУ [пТ+тТ] + ... + а,у [«Г -f 7] -Ь ОоУ \пТ] =

= bkX [nT-}-kT] + ... + biX[nT+ Г] +Ьох[пГ].

Передаточная функция ошибки импульсной системы определяется через дискретную передаточную функцию разомкнутой САУ по формуле

OAz) = E{z)lX{z)ll[l + W{z)].





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

0.0035