Главная Промышленная автоматика.

представить в виде

ахр + ахр + ахр + ах =f{t)

В общем виде дифференциальные уравнения звеньев САУ записываются как

d{p)x,„=kx

(2.1)


где Хвх и Хвых - соответствепио входной и выходной параметры звена САУ; k - коэффициент пронорцпональпости; d{p) и т{р)-операторные полиномы (.многочлены) от р.

Если дифференциальные уравнения составлены при нулевых начальных услови-я.\, то символ р можно рассматривать как алгебраическое число. Это позволяет для решеипя дифференциальных уравнений использовать алгебраические .методы. В дальнейшем, когда потребуется учет ненулевых начальных условий, будут сделаны специальные оговорки.

Основной характеристикой динамического звена является его передаточная функция, которая находится Рис. 2.1. из дифференциального урав-

-иеиия ирн нулевых начальных условиях как отношение изображений по Лапласу выходного и входного сигналов:


WiP) = x,„,{p),:K,,(p).

(2.2)

Зная передаточную функцию звена, можно определить выходную его величину, переходя от изображений к оригиналам, из выражения Хвых= U(p)л•вx.

Для оценки динамических свойств звеньев используют временные и частотные характеристики. К временны.м характеристикам звеньев относятся их переходные функции. Переход-



иая функция звена h{t) определяет его реакцию на единичную ступенчатую функцию а-вх=1(0 (рис. 2.1, а) и характеризует переход звена от одного установившегося состояния к другому (рис. 2.1,6). Выражение функции h(t) можно получить посредством решения дифференциального уравнения, которы.м описывается динамика данного звена при Xax=i{t) и нулевых начальных условиях.

За единичную ступенчатую функцию припи.мают скачкообразное воздействие с величиной скачка, равной единице при 1>0:

(2.3)

( О при t < О, 1 1 при >0.

Ступенчатый сигнал - весьма распространенный вид входного воздействия в САУ, например мгновенный поворот задающей оси следящего привода, мгновенное из.менение момента нагрузки электропривода и т. д.


Рис. 2.2.

Другим также распространенным видом входного воздействия в САУ является единичная импульсная входная функция или дельта-функция, представляющая собой производную единичной ступенчатой функции;

40= Г (О. (2.4)

Дельта-фуикции свойственна тождествсниость нулю повсюду, кроме точки i = 0, в которой она стремится к бесконечности (рис. 2.2, а), т. е.

Z(t)=i при /" = 0, 1 О при 52 0.

+ 00

Площадь дельта-функции равна единице, т.е. fb(t)dt-\. При-

- 00

мером импульсного воздействия может быть кратковременный ток короткого замыкания генератора, который отключается



плавкими предохранителями, кратковременный удар нагрузки на валу электродвигателя и т. д.

Реакция динамического звена ка единичную импульсную функцию называется функцией веса w(t) (рис. 2.2, 6).

Связь между переходной и весовой функциями линейных звеньев аналогично формуле (2.4) выражается как

и наоборот,

h{t) = jw{t)dt. (2.5)

Учитывая это простое соотношение между переходной и весовой функциями, в дальнейшем будем использовать в основном первую из них, имея в виду, что вторую всегда можно получить из выражения (2.5).

Рассмотри.м частотную функцию, которая является важнейшей характеристикой динамического звена.

При подаче на вход звена гармонического воздействия лех=Хвх51П со/ (Хвх - амплитуда; w - угловая частота этого воздействия) на выходе этого звена в установившемся режиме будет получена также гармоническая функция вида д-вых= =Хвы,ч5ш(ш/-Ьф), отличающаяся от входной по амплитуде и по фазе. Представив входную и выходную гармонические функции в символической записи:

X - X pJf.<"t-r=) -вых - вых >

получим частотную передаточную функцию в виде

W (уш) = .4 (ш) eJr (2.6)

W(Jo) = P{»)-{-JQH, (2..

где Л((о) и ф(а)) -модуль (т. е. амплитуда) и аргумент (т. е. фаза) частотной передаточной функции; Р((.о) и Q{(a)-вещественная и мнимая части частотной передаточной функции.

Поскольку частотная передаточная функция W{j(i>) почти всегда дробно-рациональная, то ее модуль равен отношению модуля числителя к .модулю знаменателя, т. е. отношению амплитуд выходного сигнала к входному. Аргумент или фаза этой же функции W(](a) равны разгюсти аргументов числителя и знаменателя, т. е. сдвигу фаз выходного сигнала относительно входного.

Для нахождения вещественной и мнимой частей передаточной функции W{j(i)} необходимо освободиться от мнимости в ее знаменателе. Для этого следует числитель и знаменатель частотной передаточной функции умножить па сопряженный зна-





0 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

0.0034