Главная Промышленная автоматика.

ния на фазовой плоскости имеют замкнутые траектории - эллипсы (см. рис. 3.7,6). При этом разным амплитудам колебаний на фазовой плоскости соответствует семейство эллипсов.

Построи.м фазовый портрет для точки, совершающей затухающие колебания:

x = Ле* sin 4>t.

В данном случае скорость изменения координаты х определяется уравнением

у =--ГГ = Лше-* cosiat--sin OJf

Исключив Время t из уравнений для х и у, получим уравнение для фазовых траектории, которые определяются свертывающимися спиралями:

{у + kxf + Сехр [2 arclg-

График затухающих колебаний точки и ее фазовый портрет для рассматриваемого примера изображены па рис. 3.5.

Метод гармонического баланса. Один.м из важнейщих приближенных .методов является .метод гармонического баланса,

или эквивалентной линеаризации, разработанный Н. М. Крыловым и И. И. Боголюбовым. Он получил на практике очень широкое распространение вследствие исключительной простоты вычислений и, в большинстве случаев, удовлетворительной точности. Метод применим к нелнпейпы.м системам любого порядка, но годится только лишь для псследоваЕшя колебательных процессов.

метода заключается в линеаризации нели-режиме автоколебаний, которые предиола-к синосоидальпым. Это 1гредположение будет справедливо для больишнства САУ, поскольку линейная часть их обычно является низкочастотным фильтром, значительно ослабляющим высшие гармоники.

Рассмотрим СЛУ с одним нелнпейпы.м :-;лемеитом. F:e можно привести к схеме, в которой нелинейный элемент выделен, а все линейные элементы обтедипены в одну линейную оби1ую часть системы (рис. 3.12).

Положим, что па вход нелинейного элемента, уравнение которого и.меет вид

y-=F{x), (3.4)

поступает гармонический сигнал 90

Рис. 3.12.

Основная идея ценностей САУ в гаются близкими



х = А sin wt, (3.5)

где /1 и о) - амплитуда и угловая частота. Тогда на выходе нелинейного элемента сигнал будет представлять некоторую периодическую функцию времени, вид которой определяется характеристикой конкретьюго нелинейного элемента. Подставляя вырал<ение (3.5) в заданную пелипейпую функцию (3.4), получим

у = Г {А sin 0)) = Ло -+- "У {Ai sin kwt -}- Лг cos kuit). (3.6)

Разложив выражение (3.6) в ряд Фурье и отбросив все высшие гармоники (считая, что они не пропускаются линейной частью системы), кроме первой, получим

у= Ао-\- Ai sin bit -j- Л-j cos u)t.

Считая, что в искомых колебаниях отсутствует постоянная со-•ставляющая, т. е. Л = 0, и приняв о)/ = (р, имеем

- F{A sin -f) sin tp flfa

у = Л, sin Л2 COS 4it =

sin cs -}-

г 2-

- \ /(A sin ») cos 9 flf(p

L 0

cos (p.

Тогда приближенная эквивалентная передаточная функция нелинейного элемента, которая определяется как отношение амплитуды первой гармоники выходного сигнала нелинейного элемента к амплитуде его входного гар.монического сигнала и iB общем случае представляет комплексную величину, и.меет следующий вид:

J{A}-r--a(A)+Jb{A},

(3.7)

где а{А) и (Л) -коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые выралениями

а{А) F {Asmf) sin df,

I (3.8)

& (Л) = /-(Л sin 9) cos <p flfip.

.Амплитуда эквивалентной передаточной функции, показывающая, во сколько раз первая гармоника па входе пелиией-Иого элемента больше амплитуды Л синусоидального входного



сигнала, рассчитывается но формуле qiA)=.\J{A)\= Vcf (ЛТ+ ЬЧЖ

Фаза эквивалентной передаточной функции, определяюп1:ая разность фаз между первой гармоникой па выходе пелнпей-ного элемента и синусоидальным входным сигналом, находится по формуле

с? (А) = arctg(Л) а (Л)].

Полученные формулы показывают, что эквивалентная перс-даточная функция нелинейного элемента зависит от амгглитуды входного сигнала и не зависит от его частоты. Величину J(A) также называют комплексным коэффициентом усиления, или амплитудной характеристикой нелинейного элемента. Метол линеаризации нелинейного уравнения (3.7) носит название гармонической линеаризации.

На практике часто используется величина, обратная эквивалентной передаточной функции нелинейного элемента:

г„(Л)= 1;У(Л). (3.9)

По.тьзуясь фор.мулами (3.7) и (3.8), можно найти эквивалентную передаточную функцию нелинейных элементов, имеюншх разные характеристики.

Иногда бывает удобным пользоваться так называемой нормированной эквивалентной передаточной функцией. Для этой цели /(Л) выражается в функции от безразмерной амплитуды входного сигнала Л/а, где а-какой-либо параметр нелинейной характеристики, который влияет на величину J (А). В за-висн.мости от типа нелинейности за параметр а может быть принята либо ширина гистерезисной петли, либо ишрина зоны нечувствительности, либо величина насынкмшя и т. д. После линеаризации нелинейности системы полученное линейное дифференциальное уравнение исследуемой СЛУ реи1ается с по-мощью известных критериев устойчивости линейных систем. Отыскиваются значения амплитуды и час готы, при которых возможно сувдествование в рассматриваемой САУ устойчивых автоколебании.

Типы иелннейностей, встречающиеся в СЛУ наиболее часто, были приведены в табл. 3.1. В ней кроме аналитического описания этих нелинейн.остей даны также и формулы коэффициентов гармонической линеаризации а(А) и ЫА). Для однозначных нелинейностсй (типа насыщения, зоны нечувствительности, релейного переключения) коэффициент гармонической линеаризации Ь{А) равняется нулю, для многозначных (типа люфта, насыщения с петлей гистерезиса)-отличен от нуля. Следовательно, эквивалентная передаточная функция нелинейных элементов с однозначной характеристикой является чисто веп1ествеиной, J (а) =А [а) и ф(Л) =0,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [29] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

0.0038