зования, неравенство (3.1) примет вид

X-qVA-Приравнивая

К > 0. выражение

(3.2)

а =3

-ctg уо

(3.2)

К ну;по, получки уравнеи:1( прямой (так называемой прямой Попова) X-qY+\IK=--{), ироходяи1,ей через точку (-1/Л", /0) и имеющей угловой коэф-фнциепт llq (рис. 3.3, а).

Рассмотренный критерии имеет более удобную гоомст-рическую формулиров1:у: pt. линейная СЛУ абсолютг10 устойчива, если в плоскосп;

(/(>) = Л+/У можно провести прямую, проходящую через точку (-\1К; /0) так, чтобы вся частотная характеристика W.i (/()) находилась о: нее справа (см. рис. 3.3, а) Если такую прямую провесп: нельзя, то это значит, что абсолютная устойчивость Д.1!

данной системы невоз.можи (см. рис. 3.3, б). Величина q связанная с угловым коэффи-циенто.м, определяется из условия (3.2) так, чтобы при известных параметрах СЛУ неравенство соблюдалось для все\ частот. Видоизмененная характеристика W.i (jm) связана

-7/«\

Рис. ;з.з.

(/со) равенствами

Наиболее широкое практическое применение для исследов:!-ния нелинейных СЛУ получили фазовый метод и метод гармО нического баланса.

Фазовый метод осповап на понятии о фазовом простра).-стве. В принципе фазовым методом можно исследовать сист--мы, которые описываются дифференциальными уравиениям!. любого порядка. Суть метода сводится к следующему. Если СЛУ описывается дифференциальным уравнением и-го порядка, то ее состояние может быть задано п числами, которые мож1: рассматривать как задание некоторой точки в и-мерпом пр." странстве. При это.м каждой точке «-.мерного пространства будет соответствовать одно определенное состояние (опре.т,еле:!

ная фаза) систе.мы. Поэто-му такое миогомсрное пространство называется фазовым пространством. Ввиду затруднений, возникающих при рассмотрении «-мерного пространства при /г>3, при.мсиение фазового метода ограничено систе.махми не вЫН1е третьего порядка.

Для CVy, которые описываются дифферетшальпыми урав-яения.ми второго порядка, фазовое пространство является двумерным, т. е. превращается в фазовую плоскость. Ма фазовой плоскости (рис. 3.4) по оси абсцисс откладывается значение исследуемой переменрюй х (обычно отклонение управляемого сигнала от заданного значения), а по оси ординат - скорость изменения этой переменной i) = x. Состояние САУ второго порядка в каждый момент времени характеризуется зпачепия.ми координат х y = dx/dt и у, что соответствует определенной изображающей точке на фазовой плоскости, например точке М на рис. 3.4. При изменении состояния системы изображаюи1ая точка на фазовой плоскости персмеп1ается по кривой, которая называется фазовой траекторией. Наи])авлсние движеи"ия изображающей точки обозначают иа траектории стрелками. Паправлеине движения Рис. 3.4. изображающей точки в верхней полуплоскости всегда может быть только слева направо, т. е. в сторону увеличения х, а в нижней полуплоскости-справа палево. Фазовая траектория пересекает ось абсцисс всегда под прямы.м угло.м. Это следует из того, что в точке пересечения ироизвод-иая y - dx/dl = 0, и поэто.му координата х должна быть экстремальной.

Фазовые траектории устойчивой С.\У должны стремиться к началу координат при неограииченном возрастании времени. А фазовые траектории неустойчивой СЛУ должны неограниченно удаляться от начала координат фазовой плоскости. Замкнутым фазовым траекториям соответствуют периодические процессы.

Для получения уравнения фазовых траекторий исходное уравнение системы преобразуют таким образом, чтобы можно было исключить время. Если САУ описывается дифференциальным уравнением второго порядка, то его следует свести к двум уравнениям первого порядка:

dx dt =-- /, (X, J/ , dy dt =rf(x, y), (3 3)

ле l\ H j. - в обнгем случае пелипепные функции координат

Хну,

Дифференциальное уравнение фазовых граекторий в плоскости ху получается при исключении времени из уравнений

(3.3). Для этого второе уравнение делят на первое:

dxdy=f.,[x. y}fi(x, у).

Решением этого уравнения будет некоторая функция yF{.\), графическое изображение которой дает фазовую траекторию на плоскости ху.

Рассмотрим типичные виды фазовых траекторий, одновременно связывая их построение с анализом переходного процесса.

Затухаюпшй колебательный процесс. Если начальные условия переходиого процесса ненулевые (рис. 3.5,а), т.е. х = хо, х = хо = у, то на фазовой плоскости (см. рис. 3.5,6) начальная изображаюихая точка Мо будет иметь координаты .vo и у». В начале переходного процесса значение координаты х увеличивается до точки 1,а координаты у = х уменьшается. Изобра-жаюп1,ая точка иа фазовой плоскости будет перемещаться ио траектории от точки Мо до точки /, в которой имеет место мак-снму.м величины х и у=х = 0. На участке )-? процесс в системе идет с уменьшением координаты х, т. е. с отрицательной производной у=х<0. Аналогичным образом можно построить остальные точки {3, 4, 5 и т. д.) фазовой траектории. В результате на фазовой плоскости получим фазовый портрет затухающего колебательного процесса, который изобразится в ви.те спирали, свертыва10Н1,ейся к началу координат. Начало координат фазовой плоскости соответствует устойчивому установиг!-шемуся режиму в системе, где .v = 0 и у = х = 0. В данном случае начало координат называется устойчивым фокусом (рис. 3.5,6).

Расходящийся колебательный процесс. Рассуждая аналогичным образом, можно построить фазовый портрет для расходящихся колебаний переходного процесса (рис. 3.6, а). Фазовая траектория будет иметь вид спирали, удаляющейся от начала координат (рис. 3.6,6). Если такой фа.ювый портрет возникает при сколь угодно .малом начальном отклонении, то система будет неустойчива в равновесном состоянии (л- = 0 и уО). Нача.,то координат фазовой плоскости в этом случае называется неустойчивым фокусом.

Периодический колебательный ироцесс. Если колебательный процесс в системе периодический (рис. 3.7,а), то он на фазовой плоскости изобразится в виде замкнутой кривой, которая называется циклом (рис. 3.7,6). Для синусоидальных колебаний фазовая траектория имеет вид эллниса, а для несипу-соидальных колебаний - вид произвольной замкнутой кривой. Начало координат фазовой плоскости называется центром.

.\иериодический затухающий ироцесс, разновидности которого изображены на рис. 3.8, а, на фазовой плоскости будет изображаться в виде кривой, вливающейся в начало координат (рис. 3.8,6). При этом изображающая точка, двигаясь ио фазовой траектории, асимптотически приближается к началу ко-