3.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

При анализе нелинейных СЛУ прежде всего определяются возможные состояния равновесия системы и исследуется их .устойчивость, оиределяютея периодические движения и исследуется их устойчивость, изучаются процессы перехода от одного к другому установившемуся состоянию при разных начальных условиях. Началом анализа нелинейных СЛУ обычно является определение устойчивости системы и наличия автоколебаний.

Возможные состояния равновесия. Из-за наличия нелинейных характеристик выходной сигнал нслипеиной СЛУ ис будет пропорциопален входному, поэтому форма реакции системы на скачкообразное воздействие будет зависеть от величины этого воздействия. Для некоторых нелинейных СЛУ примеиенис входного воздействия может превратить устойчивый переходный процесс в неустойчивый, и наоборот. (В то время как устойчивость линейной САУ зависит только от ее параметров и не зависит от внешних воздействий.)

В нелинейной СЛУ статические и динамические процессы значительно разнообразнее, чем в линейной. Характер переходного процесса в нелинейной системе часто зависит от величины начального отклонения, вызванного возмущением. В связи с этим для нелинейных СЛУ употребляются понятия устойчивости в малом, большом и в целом. Система устойчива в ма-ло.м, если она устойчива ири бесконечно .малых отклонениях от исходного режима. Система устойчива в болыно.м, если она устойчива ири конечных отклонениях, возможных в данной системе по условиям ее работы. Система устойчива в целом, если она устойчива при иеограиичеппых отклонениях.

Для нелинейных систем характерен режим незатухающих колебаний, которые возникают в них при отсутствии периодических внешних воздействий вследствие внутренних свойств системы. Эти колебания могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Устойчивые колебания нелинейных СЛУ называются автоколебаниями. Если колебания в нелинейной САУ устанавливаются в результате периодических внешних воздействий, то они называются вынужденными. Следует заметить, 4fTo при затухающих колебаниях переходного процесса происходит изменение ггериода колебаний.

Нелинейные диффере1П1,иальныс уравнения, к которым приводит исследование СЛУ, часто имеют довольно высокий порядок. В настоящее время большинство групп нелинейных уравнений не может быть решено в общем виде. В конкретном случае иногда можно исследовать нелинейную систему точными аналитическими методами. Для этого необходимо, чтобы нелинейные характеристики были выражены 1юсредстпом аналитических зависимостей. Но так как в большинстве случаев это

6 Зака;; ,\\ IRfi 81

невозможно, то при исследовании нелинейных САУ большую роль приобретают различные приближенные методы.

Использование приближенных методов, как правило, не дает достаточно полного представления о всех динамических свойствах С.ЛУ. Поэтому применение нескольких хметодов в каждом конкретном случае часто дает более полную картину анализа. Тем не менее использование каждого из приближенны.х методов позволяет исследователю ответить на ряд отдельных существенных вопросов, иапример об устойчивости, наличии в системе автоколебаний, характере каких-либо режимов и т. л. В настоящее время разработано большое количество методов исследовании нелинейных С.ЛУ. Многие из них пригодны только для ограниченного круга задач и лишь некоторые имеют достаточно общее применение в области исследования нел1и1еГ-ных СЛУ.

Исследование нелинейных С.\У можно также производить метода.ми .математического .моделирования, которые могут бьггь реализованы с номон1Ью аналоговых или вычислительных элементов. Эффективность их в том, что днна.мику сложной и дорогостоящей реальной С.ЛУ .можно исследовать с по.мощью сравнительно простой электронной аппаратуры. При.менеиие .электронных моделей предпочтительнее при исследовании систем, описываемых сложными нелинейпы.ми дифференциальными уравнениями, математическое решение которых оказывается невозможным. Однако использование элсктрон)1ых моделей для исследования С.ЛУ не исключает необходимости аналитических методов расчета, как точных, так н приближеп-ных, позволяющих получать обобщающие результаты.

Метод Ляпунова. Наиболее общие результаты по исследованию устойчивости любых нелинейных С.ЛУ могут быть получены с помощью .метода Л. М. Ляпунова. Для этого необходимо подобрать некоторую знакоонределенную функцию l/(.Vi, .\2, х„) и вычислить производную но времени от этой функции

-У~ = Щ-и х,,...,х)

dt c)Xi dt

с учетом уравнения движения системы dxi!dl - f;(x\, Xi, ...,.v,,) (i=l, 2, n), где -координаты системы; /", -известные функции, заданные в пространстве этих координат.

Знакоопределенной функцией называется такая функция, которая во всех точках некоторой области вокруг начала координат сохраняет один знак и нигде, кро.ме начала координат, не обращается в нуль. Если же функция сохраняет знак во весе точках этой области, но обращается в пуль и в других точках области, то она называется знакопостоянной функцией.

Если при 1/>0 имеет место W<(), то СЛУ называется аси.м-

0отпческ\1 устойчивой. Если при 1/>0 имеет место W = 0, то СЛУ называется устойчивой. Сформулированные условия устойчивости составляют основу метода Ляпунова, который заключается в отыскании для исследуемой нелинейной СЛУ функции V, удовлетворяющей выдвинутым требованиям и называемой функцией Ляпунова.

Трудность использования этого метода ь том, что отсутствуют обише правила отыскания функции Ляпунова. Данный метод позволяет получить достаточные условия устойчивости, KOTOpiiie не всегда будут необходимыми. Другими словами, при выполнении условий устойчивости система будет устойчивой, но эти условия могут не охватывать всей области ее устойчивости. От удачного подбора функции Ляпунова будет зависеть cTeneiH) близости полученных условий устойчивости к необходимым и достаточным.

Если при исследовании устойчивости нелинейной СЛУ методом Ляпунова получены условия устойчивости, пе зависящие от фор.мы нелинейной характеристики, которая ограничена в некоторой области, то они называются условия.шг абсолютной устойчивости. В связи с ЭТИ.М принято считать, что абсолютно устойчивая нелинейная САУ устойчива при любых начальных отк.юнениях для любой формы нелинейной характеристики, принадлежащей к некоторому определенному классу.

Метод В. М. Попова. Рассмотрим исследование абсолютной устойчивости нелинейных СЛУ частотным .методом румынского математика В. М. По1Юва. Задача эта возникает в случаях нс-стабилыюсти нелинейных характеристик звеньев системы.

Обычно в СЛУ выделяются линейная и пелипеиная части. При известной частотной функции линейной части системы л(/со) и заданном значении пара.метра К, который является иекоторы.м предельны.м пара.метро.м нелинейной характеристики ф(о), произвольно располагающейся в заданной области, необходимо определить, обеспечивается ли абсолютная устойчивость данной СЛУ для любой характеристики ф(а), удовлетворяющей следующи.м условиям: 0<:ф(а)/а-</( при а#0, ф(0)=0. Тогда критерий абсолютной устойчивости для нели-Чипых СЛУ формулируется следуюишм образом: для абсолютной устойчивости нелинейной системы достаточно, чтобы при заданных W.,{jio) и К существовало такое конечное действи-льное число q, при котором для всех (i)>0 выполняется неравенство

Re [(1 -f у ,7<«) 1Ф, (уш)] + 1/00. (ЗЛ)

Первое слагаемое неравенства (3.1) можно привести к виду F?e [(1 +yV<<>) (yu))] = Re [Ж, (/(«) - Im [jm]] =

где ;r=--Re[W/o))]; У-о)1т[1Гл(/ш)]- Учитывая эти преобра-6*