Главная Промышленная автоматика.

е. необходимым и достаточным условием устойчивости, как и в предыдущем случае, является положительность всех коэффициентов уравнения. Для системы третьего порядка будем иметь зравнение аор-+ а[р-\-а2р + а; = 0. Условия устойчивости определяются здесь следующими неравенствами:

>0, Д, = а, >0, А.> =

= аа-, - амз > О,

«1

аз а-,

- («12 - ацйя) > О,

т. е. помимо положительности коэффициентов уравнения требуется еще, чтобы произведение средних коэффициентов (aiUg) было больше произведения крайних (аоаз). Для системы четвертого порядка, имеющей уравнение аор+ a,p-fOaP-fазр-Ь -Ьа4 = 0, условия устойчивости выражаются, кроме положительности всех коэффициентов, в виде неравенства

= аа-м. - a\ai - аа = {ща., - ада) - аа, > 0.

Для системы более высоких порядков критерий Гурвица требует анализа очень громоздких выражений. Поэтому им целесообразно пользоваться при исследовании систем не выше пятого порядка.

Частотные критерии устойчивости основаны на изучении связи между формой частотной характеристики САУ н харак-теро.\[ распределения корней характеристического уравнения. Рассмотрим некоторые частотные критерии, которые на практике нан1ли наибольшее применение.

В 1938 г. советский ученый А. В. Михайлов предложил графический критерий устойчивости, суть которого заключается в следующем. Если характеристическое уравнение замкнутой СЛУ имеет вид

оР" + «1Р"" + ... + а„ .iP + а„ = О,

то, представив левхю часть этого уравнения в виде функции от

D (р) = ар" + а,р"- +. -. + а„-,Р + «я (2.25)

и за.менив р па /и, получим уравнение комплексного вектора

Dijm) = а, (уш)" + а, (Jo))" + а„., (» + а„,

конец которого при изменении угловой частоты колебаний от нуля до бесконечности опинют на комплексной плоскости некоторую кривую - годограф, эта кривая называется кривой Михайлова.

Для построения кривой Михайлова необходимо в функции (р) (см. фор.мулу (2.25)) заменить р на /о) и разделить действительную и мнимую части D(/oj):



где вещественная частотная часть содержит чет}1ыс

- а„ 4-а,, .о- +-..., а мнимая - нечетные:

К(<») = а„ ,(о - а„ з(о +----

Далее, задаваясь разными значениями coi.

(2.26)

степени: (2.27)

(02,


Рис. 2.21.

ПО формулам (2.26) и (2.27) вычислим координаты точек годографа. При (1)->оо функция D{jO)) тоже иеограничепио возрастает.

Критерий Михайлова формируется слсдуюнлим образом. Система п-го порядка будет устойчива, если годограф Ь(/о)), начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало ко-01)динат, проходя последовательно п квадрантов. На рис. 2.21а изображены кривые .\иxaйлoвa при разных значениях п для устойчивы.х систем. Для устойчивых С,\У кривая .Михайлова всегда имеет плавную спиралевидную форму, уходящую в бесконечность в квадранте комплексной плоскости, по.мер которого соответствует степени характеристического урависння. Больше, чем п квадрантов, кривая Михайлова вообпхе не может пройти. Неустойчивость системы всегда связана с нарушением последовательного об.кода квадрантов кривой Михайлова (рис. 2.21,6).



Условием нахождении СЛУ на границе устойчивости является прохождение кривой Михайлова через начало координат (см. рис. 2.21,6). Если характеристическое уравнение имеет нулевой корень, т. е. свободный член этого уравнения а,г=0, то начало кривой Михайлова будет в начале координат (кривая t на рис. 2.21, б). В случае получения в решении уравнения чисто мнимых корней кривая Михайлова будет соответствовать кривой 2 на рис. 2.21,6. Последнее означает наличие в СЛУ незатухаюн1,пх колебаний с частотой соо, т. е. нахождение этой системы на границе устойчивости. Незначительные изменения параметров системы могут сделать ее либо устойчивой, либо неустойчивой. В зависимости от этого кривая Михайлова примет вид пунктирных линий: 2а - для устойчивой системы и 26 - для неустойчивой иа рис. 2.21, е.

Для оценки устойчивости замкнутой СЛУ при и:шестной амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы применяют критерий, предложенный в 1932 г. американским ученым Г. Майквистом. Необходимая у\ФЧХ .может быть получена как аналитически, так и экспериментально. Последнее обстоятельство выгодно отличает рассматриваемый критерий устойчивости от уже названных.

Отметим, что разомкнутая СЛУ может быть устойчивой, неустойчивой h:ih находиться на границе устойчивости. Если САУ состоит из устойчивых звеньев, то она будет устойчивой в разомкнутом состоянии. При наличии хотя бы одного неустойчивого элемента разо.мкнутая система будет неустойчивой. При наличии одного интегрируюн1,его звена разомкнутая СЛУ находится на границе устойчивостн.

Сформулируем теперь критерий Найквиста. Чтобы замкнутая С.ЛУ была устойчивой, необходимо и достаточно соблюдение следуюн1,нх условий:

1) при устойчивой разомкнутой СЛУ (или иаходянгейся на границе устойчивости) .ЛФЧХ при изменении о) от О до оо не должна охватывать точку с координатами -1, /0;

2) при иеустойчпвой разомкнутой СЛУ .ЛФЧХ при изменении (О от -оо до -Ьоо должна охватывать точку -1, /О столько раз, сколько ко[)пей характеристического уравнения разо.м-кнутон системы лежит справа от мнимой оси плоскости корней.

На рис. 2.22 приведены примеры .ЛФЧХ, которые соответствуют устойчивой (а) и пеустоичивой (б) замкнутой С.ЛУ для случая, когда в разо.мкпуто.м состоянии система устойчива. Амплитудно-фазовые частотные характеристики построены в плоскости W(jm) = U-\-jV, где U~ReW(joy)-вещественная часть разомкнутой частотной нередаточнон функции, откладываемая по оси абсцисс; l/=Im\F(/co) - мнимая часть этой же передаточной функции, откладываемая по оси ординат. Примеры, соответствующие случаю, при которо.м разомкнутая СЛУ неустой-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [12] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

0.0368