Чисто мнимые корни. В этом случае а=0, а корни Pk,k+\ - = ±/р. Слагаемые, определяемые этими корнями в уравнении (2.23), будут представлять собой

СеГ-\- С.,е = А sin (Й/г + <».

Из этого равенства видно, что составляюн1,ая переходного про-U цесса представляет со-

бой незатухающие колебания с угловой частотой и постоянной амплитудой (см. рис. 2.19, в).

Следовательно, д.-:я устойчивости линейной СЛУ необхоли.мо и достаточно, чтобы вещественные корни и вещественные части комплексных сопряженных корней характеристического уравнения были отрицательными. Если хотя бы один вещественный корень или вещественные части каких-нибудь комплексных сопряженных корней положительны, переходный процесс в целом будет расходящимся, и С.ЛУ окажется неустойчивой.

Для большей наглядности значения корней характеристического уравнения можно представить в виде точек на комплексной плоскости с координатами at и /Рг (рис. 2.20). Для устойчивости линейной СЛУ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мни.мой оси плоскости корней. Если хотя бы один из корней окажется справа от мнимой оси, система будет неустойчива. Мнимая ось представляет собой границу устойчивости. Если один из корней лежит в начале координат, т. е. имеется нулевой корень, систему называют нейтрально-устойчивой. В этом случае она безразлична к значению самого

Рис. 2.19.

управляемого сигнала и устойчива относительно скорости его изменения. Если на границе устойчивости лежит пара комплексных корней, то система будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой (см. рис. 2.19, в).

Следует обратить внимание, что все реальные САУ являются нелинейными. Линейные характеристики звеньев и линейные дифференциальные ура-

Рис. 2.20.

внения можно получить ну- f

тем линеаризации реальных характеристик и уравнений. Обоснование законности линеаризации пели-нейиых САУ содержится в теоремах А. М. Ляпунова. Суть этих теорем заключается в следующем:

1. Если линеаризованная система устойчива, то устойчива исходная нелинейная система.

2. Если линеаризованная система неустойчива, то неустойчива и исходная нелинейная система.

3. Если линеаризованная система находится на границе устойчивости, то для определения устойчивости исходной нелинейной системы необходимо произвести дополнительные исследования по исходным нелинейным уравнениям системы.

Эти теоремы справедливы для исследования устойчивости САУ в малом, а также но отношению к несильно выраженным нелииейиостям. К нелинейностям релейного типа .эти теоремы непри.менимы. Методы исследования нелинейных САУ будут рассмотрены в гл. 3.

Критерии устойчивости. Определение устойчивости САУ путем вычисления корней характеристического уравнения не всегда приемлемо из-за высокого порядка решаемых алгебраических уравнений. Поэто.му на практике используют разные критерии устойчивости, позволяющие без вычисления корней судить об устойчивости исследуемой системы. Ра.зличают алгебраические и Частотные критерии оценки устойчивости.

Алгебраические критерии устойчивости основаны иа исследовании зависимости между коэффициентами характеристического уравнения и характером распределения корней этого уравнения в комплексной плоскости. Наиболее распространенным является критерий Гурвица (он был сформулирован в 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем). Математическое обоснование этого критерия довольно сложно, поэтому фиведем его без доказательства. Критерий Гурвица может

быть сформулирован следующим образом; система с характеристическим уравнением

♦

аоР"-{-ар"- + ... + а„р-{-а„ = 0

будет устойчивой, если определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны, т. е. если Д«>0; Д„ 1>0: Ai>0. Определитель Гурвица имеет вид

и составляется следующим образом. По главной диагонали в порядке возрастания индексов выггисываются все коэффи-циеР1ты от О] до an- Затем кал<дый из столбцов дополняется вверх коэффициентами с возрастающими индексами, а вниз - с убывагощими. В случае отсутствия коэффициентов подставляются нули. Диагональные миноры составляются по следующему правилу:

Ai = аи Д2 =

а, а,-) а;, «о

О а, а.

и т. д. Условия нахождения САУ иа границе устойчивост!-можио получить, приравнивая к пулю последний определитель А«=0. При это.м все остальные определители должны быть положительными.

Раскрывая определители Гурвица, можно получить в вид€ частных случаев критерии устойчивости для систем первого второго, третьего и более вгсоких порядков. Для системы пер вого порядка, имеющей уравнение aop + ai = 0, условия устойчивости следующие:

ао > О, = а, > О,

т. е. коэффициенты уравнения должны быть положительны Для системы второго порядка, описываемой уравнением aoP-f uip4-a2 = 0, условия устойчивости -

а, О

- axiU > О,