Главная Промышленная автоматика.

кривую, расположенную в плоскости, проходящей через центр силы.

Если известна траектория, которую описывает точка под действием центральной силы, то, пользуясь теоремой о моменте количества движения, можно найти эту силу как функцию расстояния г от точки до центра силы.

Действительно, так как момент количества движения относительно центра силы остается постоянным, то, обозначая h плечо вектора mv относительно центра силы, имеем:

г/Л = const. (158)

Для определения этой постоянной должна быть известна скорость точки в каком-либо месте траектории. С другой стороны, имеем (рис. 168):

F„ = Fsin(p = -,

где Q-радиус кривизны траектории, ф-угол между радиусом-вектором точки и касательной к траектории в этой точке.

Отсюда

Q-sin ф

(159)


Рис. 169

Итак, имеем два уравнения (158) и (159) с двумя неизвест-• ными V и F; остальные величины, входящие в эти уравнения, т. е. /г, Q и ф, являясь элементами заданной траектории, легко могут быть найдены. Таким образом, можно найти v v. F как функции г. Пример 129. Точка М описывает эллипс под действием центральной силы F (рис. 169). Скорость в вершине А равна v. Найти скорость v в вершине В, если ОА=а и ОВ = Ь. Решение. Так как в данном случае

т„ (mt/) = const, то mvb = mva, откуда v = ~v.

Пример 130. Точка М массы т описывает окружность радиуса а, притягиваясь точкой А этой окружности (рис. 170).

В начальный момент точка находится в положении В и имеет скорость v. Определить скорость v точки и силу притяжения F как функции радиуса-вектора г.

Решение. Так как m(F) = 0, то

m(mi;) == const = (mt/J,



следовательно, откуда

mvh = mvfia;

Но из рисунка имеем:

г = 2а cos (90°-а) = 2а sin а,

откуда sin а = , поэтому Л = г sin а = ~ и, следовательно.

V =


Рис 170

Силу F находим, пользуясь уравнением (159):

Г„ = F Sin а = - =

отсюда

е а

mv т I6a>vl2a 32mefvl

" а sin а а г

§ 3. РАБОТА И МОЩНОСТЬ

Работа dA силы на бесконечно малом перемещении ds, называемая элементарной работой, выражается формулой

dA = F cosa-ds = Fr-ds, (160)

где d.s = MMi, а-угол между силой F и скоростью v точки ее приложения (рис. 171), или в виде скалярногопроизведения:

dA = Fd?, (161)

где dr = ud/-дифференциал радиуса-вектора точки приложения силы.



Выражая это скалярное произведение через проекции векторов F и dr на координатные оси, получаем аналитическое выражение элементарной работы:

dA = Xdx + Ydy + Zdz, (162)

где X, У, Z - проекции силы на координатные оси, dx, dy, dz - бесконечно малые изменения (дифференциалы) координат

точки приложения силы при элементарном перемещении этой точки.

Если сила F приложена к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Z, то


Рис. 171

dA = m,(F)dq>, (163)

где d(p - элементарный угол поворота тела вокруг оси.

Если к телу, имеющему неподвижную ось вра- щения Oz приложена пара

сил с моментом т, то элементарная работа этой пары выражается следующим образом:

dA =m-d(f,

где -проекция вектора-момента пары на ось Oz.

Особый интерес представляет случай, когда сила является функцией координат точки и, кроме того,

д)< дУ SY dZ. дг дХ .г-.,

ду ~ дх dz~dy dxdz

В ЭТОМ случае существует такая функция координат U= = и (х, у, z), частные производные которой по координатам равны проекциям силы на соответствующие координатные оси, т. е.

ди „ ди ,, ди у ,,дгч

д!- d=2- 16)

Такая функция называется силовой, или потенциальной, функцией. Таким образом, если существует силовая функция, то

dA=dx + dy+dz = dU, (166)

т. е. элементарная работа силы равна полному дифференциалу силовой функции. Ограниченная или неограниченная часть про-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [97] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0035