Главная Промышленная автоматика.

териальной точки в форме (147):

m(v - vJ==j X dt.

(Vy-vy) = lYdt.

Здесь X и У -проекции на оси хну равнодействующей всех сл, приложенных к точке Л4, т. е. сил Р, N и силы трения Ртр. Поэтому

X = P + N + Fn = N + Fn>, Y = Py + Ny + PjJ>=-P + Ny-FlK Кроме того, имеем:

р.р-т,

где /-коэффициент трения, / = tg(p.

Если угол силы N с осью х обозначим р, то N = Ncos, NyNsin, F = -Fp. gin р = /д sin р =

= - fNy, yP = FP-cosp=/Acosp = /A.

Следовательно, уравнения (147) принимают вид:

m{v-v,sma) = \Ndt - flNdt,

invcos,a=Nydt-\rf\Ndt - Pt.

Так как

\N,dt = S, и \Nydt=Sy,

где S, Sy-проекции искомого импульса S силы /V на оси X и у, то:

-fSy = m{v-v sin а), [S + Sy = /пи„ cos a + f / = m (v cos a + gt).

Из этих уравнений можно найти и S и затем по этим проекциям вычислить импульс S. Но проще возвести эти уравнения в квадрат и сложить их. Тогда получим:

(1 + Г) (Si+SI) = m-i{v-v„ sin af + (gt + cos a)].

Отсюда, замечая, что S + SS"

1+Г = 1+1Гф=..;

COS* ф



находим:

S = m cos ф Viv-v sin a) + {gt + v, cos a) =

Таблица 16

Классификация задач

Типы

группы

Определение времени или скорости при прямолинейном движении точки

Постоянная сила (задачи 733, 734, 737. 743)

Сила, зависящая от времени (задачи 694. 698)

Сила, зависящая от скорости (задачи 687, 691, 696)

Определение времени или скорости при криволинейном движении точки

Постоянная сила

Сила, зависящая от времени

Движение точки в сопротивляющейся среде

Определение импульса силы по изменению количества движения (задачи 741, 744)

§ 2. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Момент количества движения материальной точки mv относительно некоторого центра О равен векторному произведению радиуса-вектора движущейся точки г на количество движения mv, т. е.

т„ (mw)= rxmv.

(153)

Очевидно, что модуль момента количества движения равен \m{mv)\-mvh, (154)

где h-плечо вектора v относительно центра О (рис. 167).

Проектируя векторное равенство (153) на координатные оси, проходящие через центр О, получаем формулы для моментов количества движения материальной точки относительно этих



осей:

{mv) = т (yz-zy); т (mv) = т (zx-xz); т (mv) = xy-ух.

(155)

В векторной форме теорема о моменте количества движения выражается так: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра О равна моменту действующей силы относительно того же центра, т. е.

~mo(mv) = mo(F).

(156)

Проектируя векторное равенство (156) на какую-либо из координатных осей, проходящих через центр О, получаем уравнение, выражающее ту же теорему в скалярной форме:

j-.m (mv) = mAF),

(157)

т. е. производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси


Рис. 167

равна моменту действующей силы относительно той же оси. Эта теорема имеет большое значение при решении задач в случае движения точки под действием центральной силы. Центральной силой называется такая сила, линия действия которой все время проходит через одну и ту же точку, называемую центром этой силы. Если материальная точка движется под действием центральной силы F с центром в точке О, то

~m,(tnv)

m,(F) = 0.

и, следовательно, т„ (mu) = const. Таким образом, .момент количества движения в данном случае остается постоянным по модулю и по направлению. Отсюда следует, что материальная точка под действием центральной силы описывает плоскую





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 [96] 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0038