Главная Промышленная автоматика.

отсюда находим время:

mjjdt.

Если в задаче требуется определить скорость, то это уравнение нужно разрешить относительно v.

Рис. 163

Пример 124. В тот момент, когда скорость моторного судна равна выключается мотор, и судно движется, испытывая сопротивление воды, величина которого пропорциональна скорости, причем коэффициент пропорциональности равен р-: масса судна равна т. Через какой промежуток времени скорость судна уменьшится вдвое (рис. 163)?

Решение. Вес судна Р уравновешивается архимедовой силой А. В горизонтальном направлении действует одна только сила сопротивления воды R, направленная в сторону, противоположную скорости судна. Направляя ось х в сторону движения, имеем:

т. е. X является функцией от v. Поэтому применяем теорему о количестве движения в дифференциальной форме (148):

d (mv) = Xdt = - \ivdt. Разделяя переменные, получим:

Движение точки происходит под действием силы, зависящей от скорости, т. е. X=f{v). В этом случае теорему о количестве движения следует применять в дифференциальной форме (148):

d (mv) = Xdt = / (v) dt.



Теперь интегрируем в соответствующих пределах:

откуда

- \Lt

In V

In и -In v. =--- t.

» m

Отсюда находим:

1п2.

ц t)„ [X tl [X 0.5 ti„ x

Задачи типа II

Задачи этого типа, в которых рассматривается криволинейное движение точки и требуется найти скорость точки или время движения, можно разделить на такие же три группы, как и задачи первого типа:

1) движение происходит под действием постоянной силы;

2) движение происходит под действием силы, зависящей от времени;

. 3) движение происходит под действием постоянной силы в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости.

В этих трех случаях теорема о количестве движения дает первые интегралы дифференциальных уравнений движения. В первом и во втором случаях, т. е. когда сила постоянна или является функцией времени, теорема применяется в конечной форме, выражаемой уравнениями (147). Из уравнений (147) по заданным проекциям силы находят проекции скорости на координатные оси. В третьем случае теорема применяется в дифференциальной форме.

Первая группа

Так как в этом случае сила f = const, то и ее проекции на координатные оси х, у, z постоянны. Поэтому теорему о количестве движения можно применять в конечной форме (147).

Следовательно, имеем:

mv-mVox = Xt, mVy-mVgy = Yt; mv-mv„ = Zt.



Из этих уравнений определяются проекции скорости, а затем и скорость V. Наоборот, зная проекцию скорости на какую-либо ось, можно найти время.

Пример 125. Определить, пользуясь теоремой о количестве движения, время, в течение которого тело, брошенное под углом а„ к горизонту с начальной скоростью и„, достигает максимальной высоты (рис. 164).

Решение. Координатные оси располагаем в плоскости движения тела, причем ось х направляем горизонтально, а ось


Рис. 164

у-вертикально вверх. Составим уравнение, выражающее изменение проекции количества движения на ось у:

mvy-mvy = Sy = - 5 Pd/ = - 5 d/ = -mgt,

HO vy = 0 (в наивысшей точке скорость тела горизонтальна).

и оу =о sin а„, а потому

f о sin а,

Вторая группа

В этом случае сила F, а следовательно, и ее проекции на координатные оси являются известными функциями времени, т. е.

Теорема о количестве движения применяется здесь в конечной форме (147).

Выполняя интегрирование, находим из этих уравнений

проекции скорости, а затем и скорость v.

Пример 126. На материальную точку массой т = 2 кг действует сила, проекции которой на координатные оси равны:

X = 6 cos 2t; F = 6sin2/; Z=-6sin2/

(сила выражена в н, время /-в сек).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [94] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0035