Главная Промышленная автоматика.

(„ = 0

Отсюда нетрудно определить одну из трех величин и, F или t, если две другие заданы.

Применяя теорему о количестве движения к прямолинейному движению точки, ось х удобнее всегда направлять в сторону начальной скорости точки, а если начальная скорость равна нулю, то в сторону силы, действующей на точку.

Пример 122. Вагонетка, вес которой вместе с полезной нагрузкой Р = 8500 н, при движении по горизонтальному пути испытывает сопротивление, величина которого составляет 0,01 от всех вертикальных нагрузок. Рабочий толкает вагонетку с силой F=170 н (рис. 161).

Через сколько времени рабочий сообщит вагонетке скорость

0 = 0,6 MJCCK?

Решение. На вагонетку действуют: 1) вертикальная сила тяжести Р = 8500 н, 2) нормальная реакция N рельсов, 3) гори-- зонтальная сила F= 170 н, с

которой рабочий толкает вагонетку, 4) горизонтальная сила сопротивления:

F = 0,01 Р.

В данной задаче имеется материальная точка, а система тел (кузов вагонетки, полезная нагрузка, колесные скаты), которые связаны друг с другом. Пренебрегая вращательным дви-


Задачи этого типа можно разделить на три группы:

1) задачи, в которых сила, приложенная к материальной точке (или равнодействующая всех приложенных сил), постоянна;

2) задачи, в которых сила, приложенная к материальной точке (или равнодействующая всех приложенных сил), есть функция времени.

3) задачи, в которых сила, приложенная к материальной точке (или равнодействующая всех приложенных сил), есть функция скорости этой точки.

Пе рвая группа

Движение точки происходит под действием постоянной силы, т. е. X = ±f = const. В этом случае можно применить теорему о количестве движения в конечной или интегральной форме (149), причем отсчет времени здесь можно вести от нуля:

mv-mv=\Xut = Xt. (150)



жением скатов, можно считать, что все части рассматриваемой системы движутся поступательно вместе с кузовом вагонетки. При этом можно считать, что масса вагонетки сосредоточена в центре ее тяжести и в центре тяжести приложена равнодействук>-щая всех сил, действующих на вагонетку (справедливость этих допущений доказывается в динамике системы).

Таким образом, данная задача о движении системы сводится к задаче о движении материальной точки (центра тяжести вагонетки), на которую действует сила

] = P-f F-\-N+F.

Обозначая проекцию силы R на направление движения вагонетки через X, имеем:

X = F-f = f-0,01P=170-85 = 85 н = const.

Теперь применяем теорему о количестве движения: mv - mv„ = Xt,

откуда, учитывая, что и„ = 0 и что т = -, находим:

, mv Рг, 8500-0,6 д ,

Вторая группа

Движение точки происходит под действием силы, которая является функцией времени, т. е. X = /(/). В этом случае теорему о количестве движения тоже применяют в конечной форме, но отсчет времени здесь не всегда можно вести от нуля. В общем случае имеем:

mv-mv„ = f{t)dt = (f(t). (1.51)

отсюда находим скорость:

= У„ + Ф(0- (152)

Если в задаче требуется определить время, то это уравнение нужно разрешить относительно t. Если же нужно найти закон движения точки, то это уравнение нужно проинтегри-

ровать, заменив скорость и на

Пример 123. На тело весом Р = 20 н, находящееся в покое на горизонтальной плоскости, действует вертикальная сила F, возрастающая от нуля пропорционально времени, причем коэффициент пропорциональности равен 2 н/се/с (рис. 162). Через




сколько времени после начала действия силы F тело начинает двигаться? Найти закон этого движения.

Решение. На тело, пока оно находится в покое, действуют три силы: сила тяжести Р = 20 н, сила F = 2t и нормальная реакция N плоскости АВ. В момент начала движения сила N, очевидно, обращается в нуль, и с этого момента на тело действуют только две силы: F и Р. Проекция равнодействующей сил, приложенных к телу с момента начала движения, на ось X, по которой будет двигаться центр тяжести тела, выразится так:

X = F~P = 2/ -20 = 2 (/-10).

Это выражение для X справедливо только с момента /=10 сек, когда движущая сила F станет равна силе тяжести Р, ибо до этого момента на тело действует, как мы уже отмечали, еще третья сила N.

Так как в данном случае X = /(/), то для решения задачи можно применить теорему о количестве движения в конечной форме. Учитывая,

Р 20 10

что m = -=g = и !У„ = 0, имеем:

Рис. 162

i у = J Xd/ = J 2 (/- 10) dt = I (/- 10) j = (/-10)%

откуда

следовательно.

t) = 0,49 (1-Щ\

dx = 0,49(/-10)М/.

Выбирая начало координат в начальном положении центра тяжести тела, т. е. полагая x„ = 0, получаем:

х = Jo,49 (/-10) dt = 0,

(t - ioy

= 0,163 (/-10).

Итак, движение начинается через 10 сек после начала действия силы F, причем х = 0,163 (/-10). Заметим, что полученное уравнение справедливо только с момента /=10 сек.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [93] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0036