Введем обозначения: ~ = k и J = 2rt. Тогда

имеем

Если k>n, то движение точки является колебательным и общее решение этого уравнения имеет вид:

х = е-" (А coskj + r smkj) = e-"i-as\n(k,t+а), (132)

где k = Vk-n.

Рис. 155

Постоянные А я В (либо а и а) определяются по начальной скорости t)„ и начальной координате следующим образом:

либо

fe,

« = i;/A::-4 + (t.„+rtx„)%.

(133)

Уравнение (131) есть уравнение затухающих колебаний. Период затухающих колебаний определяется по формуле

(134)

Г = -=

Моменты времени, в которые точка получает максимальные отклонения от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупе-т

риоду "2 . Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой называется декрементом затухания и обозначается буквой D, причем

D = e

(135)

Величина InD называется логарифмическим декрементом.

Пример 118 Материальная точка совершает прямолинейные колебания в сопротивляющейся среде под действием силы, пропорциональной расстоянию от этой точки до неподвижного центра О. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости точки. В начальный момент л: =0 и v = l mIcck. Зная, что

период колебаний Т = 2 сек, а декремент затухания D = ~,

найти закон движения точки (рис. 166).

Решение. Выберем начало координат в неподвижном центре О; ось х направим по прямолинейной траектории точки, силу притяжения к центру О обозначим F, а силу сопротивления среды обозначим R. Тогда

F = - cx, Р = -

где с и р -постоянные коэффициенты; дифференциальное уравнение движения точки имеет вид:

+ 2n% + k"x = 0, где 2/г = - и k" = - , а т-масса точки.

О F R м Ь г

L-f--•-?--"-

Рис. 156

Решение этого уравнения найдем по формулам (132) и (133): X = е-" (х„ cos + 5±р sin kj или, подставив значения х и у„, получим:

л: = е-" sinft,

Чтобы найти постоянные А, и п, воспользуемся формулами (134) и (135):

Г = = 2се/с и D = e =4-.

отсюда

= я и е-" = , или п = 1п2.

Закон движения точки принимает вид:

е-Ип 2 sin nt =-п-•

поэтому

2- sin я< х =----.

§ 3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ (задачи 853-861)

Если на материальную точку М, движущуюся по оси х, кроме силы F, пропорциональной расстоянию х, и силы сопротивления среды, пропорциональной скорости v, действует еще некоторая периодически изменяющаяся сила F, которую назовем возмущающей силой (рис. 156), то дифференциальное уравнение движения точки запищется так:

Пусть, например, возмущающая сила изменяется по закону F = Hsm{pt + ).

Тогда, полагая -= Л и сохраняя обозначения, принятые в предыдущем параграфе, получим:

g + 2« + fex = /isin(p/ + P). (136)

При ft>rt общее решение этого уравнения имеет вид:

X = ае-" sin {kj + a) + b sin {pt + P + у), (137)

(138)

Первый член правой части равенства (137) представляет собой затухающие колебания, а второй-так называемые вынужденные колебания.

Постоянные а и а определяются по начальным условиям движения. Если ft°>2rt*, то при

p = Vk-2n (139)

амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, равного

При отсутствии сопротивления R = 0, а следовательно, и /г = 0; дифферегщиальное уравнение движения точки принимает вид:

+ kx = hsmipi + p). (141)