Главная Промышленная автоматика.

откуда

Р 20 с , с = = У = 5 н1см.

Дифференциальное уравнение движения груза имеет следующий вид:

По Р = ск., поэтому т- = - сх, или

-\-k"x = Q, тт k"=-.

Мы получили дифференциальное уравнение (125) гармонических свободных колебаний.

Отсюда следует, что груз, подвешенный на пружине, будет совершать гармонические колебания около начала координат, т. е. около равновесного положения. Период этих колебаний найдем по формуле (130):

Г = 1=2л/.

но т = - и с = -г-, поэтому

Т = 2п -/§=2л .

Амплитуду колебаний определяем по формуле (129):

« = ]/" х1 + .

По условию задачи л:„ = - 2 см и w„ = 0, поэтому 0 = 2 сж. Следовательно,

7тах= К-с-- С1 = 6 см

/=шах = сХ„ах = 5.6 = 30«.

Пример 117. К свободному концу Л упругой горизонтальной балки, другой конец которой закреплен неподвижно, подвешен на пружине груз весом Р. Упругая сила балки пропорциональна стреле прогиба /, а сила натяжения пружины пропорциональна ее удлинению Л., причем жесткость балки равна с,, а жесткость пружины равна с. Определить период колебаний груза, пренебрегая массами балки и пружины (рис. 154).

Решение. Как и в предыдущей задаче, ось х направим по вертикали вниз, а начало координат О выберем в положении равновесия груза. Если статический прогиб балки, т. е. ее прогиб при равновесии груза, обозначим /„, естественную



длину пружины обозначим /„, а ее статическое удлинение то (рис. 164)

Прогиб балки в некоторый момент t, когда груз занимает положение М, обозначим f. Длина пружины в этот момент, как видно из рис. 164. б, равна

Следовательно, удлинение пружины

К грузу М приложены две силы: вес Р и реакция пружины F, причем F = cjk. Если пренебречь массой пружины, то силы натяжения пружины на ее концах будут равны; следовательно.


Рис. 154

к концу А балки приложена сила, равная сК. С другой стороны, если пренебречь массой балки, то приложенная к ней в точке А реакция пружины будет cJ, а потому cJ = cK

Отсюда f = -k, и, следовательно, 1

в положении равновесия груза имеем: откуда f„= и Х„ =



поэтому

отсюда

7 - £l

Дифференциальное уравнение движения груза по оси х имеет вид:

Подставляя значение К, получим:

ttt - ---

+ А."х = 0, где A."=V

т. е. получаем дифференциальное уравнение (125) гармонических колебаний с частотой k.

Отсюда следует, что искомый период колебаний груза

Г = =2я1/"Ш,

§ 2. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ (задачи 843-852)

Если материальная точка М массы т движется по. оси Ох под действием восстанавливающей силы F, притягивающей эту точку к неподвижному центру О в сопротивляюш/гйся среде, то на эту точку, кроме силы F, действует еще сила сопротивления R, пропорциональная скорости v точки М, т. е.

= -ру,

где р-постоянный коэффициент пропорциональности (рис. 155). Тогда Rx = - рУх = - и дифференциальное уравнение движения точки под действием восстанавливающей силы в сопротивляющейся среде принимает вид:

dH dx





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [89] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0066