Главная Промышленная автоматика.

Подставляя найденные значения ic к у в равенство (е), имеем! т

Таблица 15

Классификация задач

Группа

Типы задач

(Прямолинейное движение материальной точки)

(криволинейное движение свободной материальной точки)

Движение точки под действием постоянной силы (задачи 674, 675, 678. 679, 682, 686)

Движение точки под действием силы, зависящей от времени (задачи 694, 698, 701, 702)

Движение точки под действием силы, зависящей от координаты точки (задачи 699, 700)

Движение точки под действием силы, зависящей от скорости (задачи 680, 683-685, 693. 695- 697, 706-708)

Движение точки под действием постоянной силы (задачи 709-719. 729)

Движение точки под действием силы, зависящей от времени (задача 731)

Движение точки под действием силы, зависящей от положения точки (задачи 724-728)

Движение точки в сопротивляющейся среде (задачи 720- 722. 730)

(движение несвободной материальной точки)

Точка движется по заданной линии (задачи 820, 821)

Точка движется по заданной поверхности (задачи 642. 643, 646, 650, 816, 819, 822)

Глава II

КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Задачи, относящиеся к этой главе, можно разделить на следующие основные типы:

I. Гармонические свободные колебания. П. Затухающие колебания. И1. Вынужденные колебания: а) при наличии сопротивления (задачи 853, 855, 858, 859, 860); б) при отсутствии сопротивления (задачи 854, 857, 861).



§ 1. свободные колебания (задачи 825-842)

Пусть материальная точка М массы т движется прямолинейно под действием силы F, притягивающей ее к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию движущейся точки от центра О. Следовательно,

F = c-OM,

где с-постоянный коэффициент пропорциональности.

Силу F назовем восстанавливающей силой. Если выбрать за ось X прямолинейную траекторию точки М, поместив начало

О F М -т---?-

1---X--i

Рис. 152

координат в точке О, то (рис. 162) дифференциальное уравнение движения точки М запишется так:

где X-абсцисса точки, или + = Обозначив через k", получим:

,- + х = 0, (126)

это-линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Так как корни характеристического уравнения « + = 0 являются мнимыми, то общий интеграл этого дифференциального уравнения имеет следующий вид:

х = А cos ikt) +В sin (kt), (126)

где А и В-произвольные постоянные, которые определякяся по начальным условиям движения.

Если при / = 0, х = х, v = v, то А = х и В=, следовательно,

л: = л:„ cos kt + sin kt. (127)

Общий интеграл уравнения (125) можно представить и так:

* = asin(fe/ + a), (128)



где а и а-постоянные, определяемые по начальным условиям движения при помощи следующих формул:

амплитуда колебаний,

a = arctg- - начальная фаза.

(129)

Уравнение (128) есть уравнение гармонических колебаний с круговой (циклической) частотой k.

Период этих колебаний Т определяется по формуле

(130)

пример 116. Груз весом Р = 20н подвешен на пружине, которая в естественном состоянии имеет длину /„ = 40сж.

Статическое удлинение пружины под действием этого груза равно 4 см. Груз приведен в положение М„ и отпущен без начальной скорости.

Определить период колебаний груза и наибольшую силу натяжения пружины, если/4Л1„ = 42 см (рис. 163).

Решение. Ось х направим по вертикали вниз, а начало координат О выберем в положении равновесия груза, т. е. в том положении, где вес груза и реакция пружины уравновешиваются.

Статическое удлинение пружины, соответствующее положению равновесия груза, обозначим Я„, а удлинение пружины, соответствующее положению М. груза, обозначим Я.. Тогда

Так как реакция пружины пропорциональна ее удлинению,

F = cX = c(>u„ + ).

где с-постоянный коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью пружины.

В положении равновесия модуль силы F равен весу груза; поэтому

Рис. 153





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [88] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0037