Главная Промышленная автоматика.

dx = ~tdt, dij = (v - gt)dt.

Отсюда, интегрируя, находим:

г/-г/о = vdt-gtdt = vJL-

Так как в начальный момент частица находится в начале координат, то х = у = 0 и, следовательно,

Эти уравнения определяют движение частицы М. Предлагается читателю доказать, что проекция скорости частицы на прямую, перпендикулярную к равнодействующей сил F яТ>, остается неизменной.

Вторая группа

Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к данной материальной точке, а следовательно, и ее проекции на координатные оси, являются функциями времени. В этом случае

=/.(0; = /,(0; z = fAt),

причем функции /, (/); {t), (/) известны. Тогда дифференциальные уравнения движения точки имеют вид

mx = fAt), my = f{t); mz = t,(t).

Каждое из этих уравнений можно проинтегрировать в отдельности таким же способом, как и в задачах второй группы типа I.

Третья группа

Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к данной материальной точке, зависит от положения этой точки, т. е. является функцией ее координат. Такой случай возможен, например, когда материальная точка притягивается



к данному неподвижному центру или отталкивается от него силой, зависящей от расстояния точки до этого центра.

Пример 110. Материальная точка М массой т отталкивается от неподвижного центра О силой F = cr, где г - расстояние точки М от центра О, а с-постоянный коэффициент. В начальный момент расстояние г„ = 0Л1„ = а, а скорость точки -перпендикулярна к направлению ОМ. Найти движение точки М и ее траекторию (рис. 145).

Решение. Принимая центр О за начало координат, ось х направим по 0М„, как указано на рис. 145.

Так как F = cr, то, проектируя обе части этого векторного равенства на оси Ох я Оу и учитывая, что гх, Гу = у, где

X и у-координаты движущейся точки, получаем:

F = cx, Fy = cy. Дифференциальные уравнения движения точки М согласно уравнениям (110) имеют вид: тх = сх, тугсу,

или, полагая =>


Рис. 145

x-k"x = 0, y-ky=0.

Каждое из этих линейных уравнений можно проинтегрировать отдельно, для этого составим характеристическое уравнение и" - k" = 0 и найдем его корни:

ы, = /г, Uj, = - k.

Следовательно, общее решение дифференциальных уравнений движения точки запишется так:

хсу+С.е-"*,

у = 0,8"

Отсюда

x = k{C,e-Ce-% y.= k{C,e"-Ce-"). Остается найти постоянны" С,, С, С, С,. При # = 0 имеем:

о = «. /о = 0. «о;с = 0, V,y = V,.

Подставляя гти значения в предыдущие уравнения, получаем: x„ = C,-fC,=G; x„ = fe(C.-C,)==0; y, = C,i-C = 0; y, = k (C-CJ = V,.



Отсюда находим:

Следовательно,

Эти уравнения определяют движение точки М. Чтобы найти уравнение траектории в обычном виде, достаточно из них исключить параметр t. Для этого,полагая г = 6, перепишем предыду-

щие уравнения в виде:

У b

= ch (М),

- = sh (kt).

Возведя теперь эти уравнения в квадрат и вычитая второе уравнение из первого, получаем:

Траектория точки М есть гипербола.

Четвертая группа

Задачи, в которых рассматривается движение материальной точки под действием некоторой заданной силы (постоянной или переменной) в сопротивляющейся среде, причем сила сопротивления среды зависит от скорости материальной точки.

Пример 111. Точка М массой т = 0,1 кг движется под действием силы, которая притягивает ее к неподвижному центру О и пропорциональна расстоянию точки от этого центра, причем коэффициент пропорциональности с = 0,6 н/сл. Движение происходит в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости, причем коэффициент пропорциональности р, = 0,5-. Начальные условия: a: = 0,

V = у= 10MJceK. Найти кинематические уравнения движения


Рис. 146

f/„ = 30 л*. t>„ = х„ = 20 MJceK,

точки (рис. 146)..





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [84] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0034