Главная Промышленная автоматика.

у(+)

Рис. 20

Если изображенный на самом стержне, вектор силы, с которой данный стерокень действует на шарнир (узел), направлен от шарнира (от узла), то стержень растянут. Если же этот вектор направлен к шарниру (к узлу), то стерокень сжат.

Рассмотрим далее аналитический способ решения этой задачи. Направим ось Dx по линии действия силы а ось Dy перпендикулярно к ней, как показано на рис. 20, и найдем проекции всех сил, приложенных к шарниру D на эти оси. Известно, что абсолютное значение проекции силы на ось равно произведению модуля этой силы на косинус острого угла между направлением силы и осью проекций. При этом, если направление силы составляет острый угол с положительным

направлением оси проекций, то А>Л-0° х(+)

проекция силы на эту ось поло- ~"

жительна.Если же направление силы составляет острый угол с отрицательным направлением оси проекций, то проекция силы на эту ось отрицательна.

Сила F, совпадает с отрицательным направлением оси Dx,

а потому проекция ее на эту ось равна модулю самой силы, взятому со знаком минус, а ее проекция на ось Dy равна нулю. Сила S, составляет острый угол 30° с положительным направлением оси Dx и острый угол 60° с положительным направлением оси Dy, а потому

S, = S, cos 30°, S,j, = S. cos 60°.

Сила Sj составляет острый угол 60° с отрицательным направлением оси Dx и острый угол 30° с отрицательным направлением оси Dy, а потому

S..= -S, cos 60 S,=-S, cos 30°.

При равновесии тела сумма проекций всех приложенных к телу сил на каждую из координатных осей равна нулю. Таким образом, получим два следующих уравнения равновесия:

1) F, + S.cos30°-S,cos60° = 0, 1

2) S, cos 60°-cos 30° =-- О, j

1) S,K3-Sg = 2F„ 2)S, = S,l/3.



Решим теперь эту систему уравнений относительно неизвестных S, и 5,:

S = F\ = 30kh, S, = SJ/3 = 51,9 кн. Чтобы определить усилия в стержнях 3 и 4, рассмотрим узел Е, находящийся в равновесии под действием заданной силы и трех реакций стержней /, 3, 4, направленных вдоль этих стержней. Неизвестные реакции стержней 5 и 4 обозначим через S, и S, направив их от рассматриваемого узла Е. Что касается реакции стержня 1, приложенной к узлу Е, то по закону равенства действия и противодействия она равна по модулю и противоположна по направлению силе S, т. е. равна силе S,. Следовательно, S\~\-S-\-S-\-F = q. Для определения неизвестных сил применим сначала аналитический способ решения задачи. Для этого выберем оси координат, как указано на рис. 21, и найдем проекции каждой силы на эти оси. Тогда имеем:

S;, = - S; cos 30°, S.. = 0, F,, = -F,cos76°;

S.y - S; cos 60°,

F,j, = -F,cosl6°;


Рис. 21

= -S.cos 30°; = -S.cos60°.

Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на каждую из координатных осей Ех и Еу, получим два уравнения равновесия:

cos 30° - cos 75°-S, cos 30° = О,

--S\ cos 60° - F, cos 15°-S, cos 60° = 0.

Из этих уравнений находим:

5 =-F.

cos 75°

2 COS 30°

S, =-S; cos 60° -F, cos 15°-cos 60°

S.--20-

S, = -20/cosl5°-

)-30/3.

T. e.

S = -67,9 KH, Sj = -16,g/f/*.




Так как после решения уравнений раиковесия мы получили отрицательные значения для неизвестных реакций S3 и S, то эти силы имеют направления, противоположные выбранным нами на рис. 21, т. е. силы S, и направлены к узлу Е и стержни 3 н 4 сжаты. Полученные результаты проверим геометрически, т. е. рассмотрим геометрический способ решения этой задачи. Для этого построим замкнутый многоугольник сил Fg, S\,JS„ 5(рис. 22). Направления сил и найдем после того, как обойдем периметр построенного силового многоугольника dekld, причем направление этого обхода определяется направлением известных сил Fj и S,. Измерив стороны Id и kl силового многоугольника выбранной единицей масштаба, пай- Рис. 22

дем модули искомых сил S, и S.

Так как углы между силами F, S\, S, и заданы, то можно найти углы силового многоугольника, а затем вычислить и длины двух неизвестных его сторон, что и рекомендуется выполнить студенту самостоятельно.

Чтобы определить, будут ли стержни 3 и 4 растянуты или сжаты, перенесем векторы S, и с силового многоугольника на стержни ЕС и ЕК фермы; тогда силы S, и будутнаправлены к узлу Е, а потому эти стержни сжаты.

Примечание. При аналитическом способе решения этой задачи заранее неизвестно, в какую сторону следует направлять реакции стержней. В таких случаях эти реакции можно направлять по соответствующим стержням в ту или другую сторону произвольно. Если в результате решения уравнений равновесия для этих реакций получим положительные значение, то реакции были направлены верно. Если же для какой-нибудь из этих неизвестных сил получим отрицательное значение, то выбранное направление реакции нужно изменить на противоположное. В дальнейшем условимся неизвестную реакцию стержня, приложенную к шарниру (к узлу), направлять по самому стержню от этого узла. Если, решая уравнения равновесия, получим для этой реакции положительное значение, то реакция направлена верно и, следовательно, стержень растянут. Если же для искомой реакции получим отрицательное значение, то это укажет на то, что в действительности реакция данного стержня имеет направление, противоположное принятому нами, т. е. сна направлена к узлу и, следовательно, данный стержень сжат.

Таким образом, при указанном условии относительно направления реакции стержня, по знаку этой реакции можно определить, будет ли данный стержень растянут или сжат.

Пример 9. Груз весом Р = 60 кн подвешен при помощи каната, перекинутого через небольшой блок А и идущего к лебедке D. Определить усилия в стержнях АС и В А крана. Углы,





0 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0041