Главная Промышленная автоматика.

чения абсолютных угловых скоростей соответственно звеньев ц, V и водила Н. Для перехода к движению относительно водила сообщим мысленно всей системе вращение вокруг оси водила с угловой скоростью - co (т. е. равной угловой скорости водила, но направленной в прямо противоположную сторону). Тогда водило остановится, и звенья р, и v, на основании теоремы сложения вращений, получат угловые скорости со - co и cov-•co. Так как при неподвижном водиле получаем обыкновенный зубчатый механизм, звенья которого вращаются вокруг неподвижных осей, то к этому механизму можно применить формулу (97) для передаточных отнощений, что приводит нас к так называемой формуле Виллиса:

«V-«я

= С (106)

где - передаточное отношение между звеньями fx и v в их движении относительно водила Н (о чем говорит верхний индекс). Это передаточное отношение, как уже указывалось в § 1, можно выразить через конструктивные и геометрические параметры механизма (числа зубьев или радиусы начальных окружностей, находящихся в зацеплении колес).

В нашей задаче применим формулу Виллиса к звеньям 1 и 3:

tOs -"я ЛИ) АН) ЛИ) но to, -(Он ,

(передаточное отношение между колесами 3 и 2 положительно, так как колеса имеют внутреннее зацепление);

ЛИ) 2,

(здесь передаточное отношение отрицательно, так как колеса 2 и / имеют внешнее зацепление). Таким образом,

«1 -«я

откуда

ю, = «я-(t. -я) (ответ).

Пусть, например, г, = 60, 2 = 40, га-=20, гз = 120 и, кроме того, колесо / и водило Я вращаются в одну сторону с угловыми скоростями to, = 140 1/се/с и fo = 60 1/се/с. В этом случае

(0 = 60-(140 -60) = 60--80 = 40 се/с-. Если бы колесо

/ и водило Я вращались в противоположные стороны, то угловую скорость одного из этих звеньев необходимо было бы считать величиной положительной, а другого -отрицательной.



в этом случае при тех же абсолютных значениях угловых скоростеР! звеньев I и Н мы бы имели:

С0з=140 сек-; ffl= -60 сек-; со, = - 60 -(140+60) =

=- 60-50 = - 110 1/сек,

т. е. колесо 3 вращалось бы в ту же сторону, что и водило, так как знаки их угловых скоростей совпадают.

Если закрепим колесо /, то получим простой планетарный механизм. Формула Виллиса в этом случае остается в силе, надо только положить в этой формуле со, = О, что дает:

со =со.

1 -f

2-й способ (метод мгновенных центров скоростей). Так как звенья планетарного или дифференциального механизма с параллельными осями совершают плоскопараллельное движение, то при анализе такого механизма можно применить теорию плоскопараллельного движения и, в частности, воспользоваться методом мгновенных центров скоростей. Решение задачи полезно сопровождать построениями треугольников скоростей, которые обычно выносят за пределы механизма (рис. 134, в). Радиусы колес рассматриваемого механизма обозначим через R,

Тогда имеем:

Уд = /?,со, и VB = (>iff{R,-{-R,)

на рис. 134, в скорость точки А касания колес 1 и 2 изображена в виде вектора Аа, а скорость точки В-в виде вектора ВЬ. Зная скорости точек А и В, через концы а и b этих скоростей проводим прямую и в пересечении этой прямой с продолжением прямой АВ в точке Р получаем мгновенный центр скоростей сдвоенного колеса 2-2. Скорость точки С касания колес 2 и 3 изобразится на рисунке вектором Сс. Зная скорость точки С колеса 3, находим угловую скорость этого колеса:

Построение треугольников скоростей и является геометрическим решением данной задачи. Для получения аналитического выражения для воспользуемся следующими уравнениями, вытекающими из наших построений:

Уд = /?,со, = (о,(Р,С + ;?,.-Ь;?,), (а)

Vs = (R,iR,)a„ = aJPC + R,.), (б)

Ус = со,Р,С, (в)

где coj-угловая скорость колеса 2-2 вокруг мгновенного центра скоростей Р.



Вычитая из равенства (а) равенство (б), получим: R.a - iR, -\-R,) a = aR,

откуда

c.),=/J-[/?,co,-(/?,-b/?,)co„J. (г)

Поделив эти равенства почленно друг на друга, находим-

{R, + R,)bi„ Pfi + R. •

/C0,-(?, + /?г)COн R,

{R, + R,)<aH Pfi + R

откуда

- -(/?, + R) ffl/f Используя равенства (в), (г) и (д), имеем: Ус = со, Pfi = (7?. + R,) [co,?,- + R,) со„] =

Отсюда

Заменив отношения радиусо? отношениями чисел зубьев, получим ранее найденный ответ

§ 3. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТРЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ

Если относительное и переносное движения тела являются вращательными вокруг пересекающихся осей (рис. 135), то распределение абсолютных скоростей в теле в каждый данный момент такое, как при вращательном движении вокруг мгновенной оси, проходящей через точку пересечения осей составляющих вращений и направленной по диагонали параллелограмма, построенного на угловых скоростях этих вращений. Вектор абсолютной угловой скорости тела равен геометрической сумме векторов его переносной и относительной угловых скоростей"

ю, = с,-ЬЯ- (107)

Пример 95. Зная угловую скорость го„ водила Я планетарной конической передачи (рис. 136, а) найти относительную и абсолютную угловые скорости колеса /, находяп1,егося в зацеплении





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [74] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0038