Главная Промышленная автоматика.

место таких точек, из которых отрезок АВ виден под одним и тем же углом, равным 45°. Как известно из геометрии, таким геометрическим местом является дуга АРВ окружности, описанной около треугольника АРВ; так как сумма углов АРВ и АОВ равна 180°, то эта окружность проходит и через точку О. Но сторона треугольника равна диаметру описанного круга, умноженному на синус угла, противолежащего этой стороне, поэтому, обозначая радиус подвижной центроиды через R, имеем:

/ = 2R sin 45°, откуда / \Г21

2 sin 45° ~ 2 • Так как О АР = 90°, то отрезок ОР является диаметром подвижной центроиды, а потому ОР = 2R = ]/21 = const, т. е. расстояние мгновенного центра вращения Р от неподвижной точки О постоянно; отсюда следует, что неподвижная центроида есть окружность радиуса 0P = 2R = /2 / с центром в точке О.


Рис. 106

2-й способ (аналитический). Построим две системы координатных осей: неподвижную Оху и подвижную 0"ху, неизменно связанную со стержнем АВ, как указано на рис. 106; начало О подвижной системы возьмем в середине отрезка АВ. Если обозначим координаты точки Р в неподвижной системе Оху через X и у, а в подвижной системе Оху - через х и у, то х = ОВ, у = ВР, х = 0С, у = СР.

Обозначим далее переменный угол ОАВ через ф и выразим координаты X и у через этот угол. Из треугольников ОАВ и АРВ по теореме синусов имеем:

X I у I

-=- и ---2-- - --

81пф sin (180°-а) smv90°-ф) sin а



отсюда находим:

x = -J-sir]w, и--J-cos т. sina sina

Чтобы найти геометрическое место точек Р на неподвижной плоскости, т. е. получить уравнение неподвижной центроиды, нужно из этих уравнений исключить параметр ф. Для этого достаточно возвести каждое из этих уравнений в квадрат и затем их сложить. Тогда получим:

» Sinа sinMS" Х +1 = 21.

Отсюда видим, что неподвижная центроида есть окружность радиуса Vl с центром в начале координат О.

Чтобы выразить теперь через угол ф координаты х и у точки Р в подвижной системе осей, рассмотрим треугольники АСР и ВСР, из которых имеем:

ЛC = CPtgф

CB = CPtg(a-ф), - + Jc = /tgф

1-д: = /tg(a-ф) = /tg(45°-ф)= .

"-l + tg45°tgф l+tgф Освобождаясь во втором уравнении от знаменателя, получим:

Чтобы найти геометрическое место точек Р на подвижной плоскости, т. е. найти подвижную центроиду, нужно из этих двух уравнений исключить tgф. Из первого уравнения имеем:

Подставляя это значение tgф во второе уравнение, получим: или



отсюда видим, что подвижная центроида есть окружность радиуса Y~=-l с центром в точке О, у>)-

Пример 78. Стержень, согнутый в виде прямого угла ABC, перемещается так, что точка А движется по оси х, а сторона ВС все время проходит через неподвижную точку D на оси у. Найти уравнения подвижной и неподвижной центроид, если AB=OD = a (рис. 107).

Решение. 1-й способ (геометрический). Скорость точки Л направлена по оси Ох, а скорость точки D-вдоль стержня ВС.

Мгновенный центр вращения Р стержня ABC находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и D к скоростям этих точек. Так как прямоугольные треуголь-


Рис. 107

НИКИ ABE и OED, в которых АЕВ = OED и АВ = 0D, равны, то АЕ = ED, а потому из равенства треугольников АРЕ и DPE заключаем, что AP = DP. Но, как известно из аналитической геометрии, геометрическое место точек, расстояния от которых до данной неподвижной точки (точки D) и до данной неподвижной прямой (прямой Ох) равны между собой, есть парабола. Поэтому неподвижная центроида есть парабола, для которой прямая Ох является директрисой, а точка D-фокусом. Точно так же рассматривая геометрическое место точек Р на подвижной плоскости, связанной со стержнем ABC, из равенства AP = DP заключаем, что подвижная центроида есть парабола, для которой директрисой является прямая ВС, а фокусом -точка А.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [59] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0037