Главная Промышленная автоматика.

Таким образом, уравнения движения линейки АВ имеют вид: Ха = 2г cos {at),

ф==Сй/.

пример 73. Шестеренка радиуса г, катящаяся внутри неподвижного колеса радиуса R, приводится в движение кривошипом OA, вращающимся равномерно вокруг оси О этого колеса, с угловой скоростью ш = const.

Составить уравнения движения подвижной шестеренки, принимая ее центр А за полюс (рис. 101).

Решение. Найдем координаты Ха, у а полюса А.

Из треугольника ОАВ имеем:

Хд--=ОВ = OA cos а, Уа = АВ = 0А sin а,

но OA = OC-AC = R-rHa = at, как -угол поворота кривошипа при равномерном вращении. Следовательно,

XA=={R-r)cos at, yj = lR-r) sin at.


Рис. 101

Далее нужно найти угол поворота подвижной шестеренки вокруг полюса А. Для этого рассмотрим радиус AM подвижной шестеренки, который в начальный момент занимал положение Л„УИ„.

Тогда угол поворота равен ЕАМ = (р.

При этом отрезок АЕ параллелен оси х и, следовательно, /САЕ = а. Так как качение подвижной шестеренки по неподвижной происходит без скольжения, то

см„=см.

CMRa

СМ=г{ц, + а),

а поэтому

г (а -Ь ф) = а.

откуда



Таким образом, искомые уравнения движения запишутся так:

Xf = {R-г) cos at, Уа = {Н-г) sin ш/.

со/.

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ, ДВИЖУЩЕЙСЯ В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ

(задачи 501 - 538)

Движение плоской фигуры в ее плоскости можно разложить на два движения:

1) поступательное движение со скоростью, равной скорости какой-либо точки А тела, принятой за полюс, и

2) вращательное движение вокруг этого полюса (вокруг оси, проходящей через полюс и перпендикулярной к плоскости движущейся фигуры). При этом угловая скорость вращательного движения не зависит от выбора полюса. Отсюда следует, что скорость любой точки В плоской фигуры равна геометрической сумме двух скоростей: скорости полюса и скорости va точки В во вращательном движении вокруг полюса, т. е.

Vb = Va-\- Vba, (75)

причем Vba1.AB и Ув = ЛБи.

Отсюда следует теорема о проекциях скоростей точек плоской фигуры: проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется такая точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент роена нулю.

Если известны скорость какой-либо точки А плоской фигуры и угловая скорость этой фигуры, то, повернув вектср Va вокруг точки л на 90° в направлении вращения фигуры и отложив на этой полупрямой отрезок

АР = , (76)

получим точку Р, которая является МЦС (рис. 102).

Если же известны направления скоростей двух точек плоской фигуры, то МЦС находят как точку пересечения перпендикуляров, восставленных в этих точках к направлениям их скоростей.

Если мгновенный центр скоростей Р найден и если известна угловая скорость со фигуры, то скорость любой точки В фигуры определяется как скорость этой точки во вращательном



движении вокруг мгновенного центра скоростей, т. е. вектор Vg перпендикулярен к отрезку РВ и по модулю равен произведению (йРВ.

Отсюда следует, что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей, т. е.

(77,

"РВ-

Таким образом-, скорость любой точки движущейся плоской фигуры можно определить двумя способами:

1) по формуле (75);

2) при помощи мгновенного центра скоростей.

Из задач, относящихся к этому параграфу, следует обратить внимание на такие задачи, в которых имеются плоские механизмы, состоящие из нескольких звеньев (например, задачи 517, 533, 536-538). При решении этих задач рассматривают последовательно движения отдельных звеньев механизма, начиная с того звена, движение которого задано, и при переходе от одного звена к другому определяют скорости тех точек, которые являются общими для этих двух звеньев механизма. Следует подчеркнуть, что мгновенный центр скоростей можно находить только для каждого звена в отдельности; то же относится и к угловым скоростям (см. пример 75).

Пример 74. Стержень АВ длиной 5 м опирается на неподвижное ребро С двугранного угла и движется в плоскости чертежа так, что нижний его конец А скользит по горизонтальной оси X со скоростью, равной Уд = 4 MJceK. Определить угловую скорость {о и скорости точек В к С стержня в момент, когда угол ф = 30°, если 0С = 2 м (рис. 103).

Решение. 1-й способ. Скорость точки А направлена по прямолинейной траектории этой точки, а скорость точки С стержня АВ направлена вдоль этого стержня. Принимая точку А за полюс, по формуле (75) имеем:


Рис. 102

причем Vf-A J AC. На основании этого векторного равенства строим треугольник скоростей. Для этого в точке С строим вектор Уд, из кон а а которого опустим перпендикуляр ас на прямую АВ, тогда vCc и VcA = ac, причем сСс = ф. Из





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [56] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0039