Главная Промышленная автоматика.

через ось у и биссектрису координатного угла zOx. Далее, находя из первого уравнения sin и подставляя это значение

во второе уравнение, имеем: sin ю/ = ,

y = (\ - cos2at)=R (2sinra0,

Это есть уравнение параболического цилиндра с образующими, параллельными оси г, причем направляющей этого

цилиндра является парабола y = -jx", лежащая в плоскости

хОу. Таким образом, траекторией точки является линия пересечения поверхностей

z = x,

в начальный момент /„ = 0, х. = 0, у„ = 0, г = 0, т. е. точка находится в начале координат; так как координаты" л; и z изменяются периодически в пределах от -R ro R, а координата у-в пределах от О до 2R, то точка совершает колебательное движение по дуге параболы.

По формулам (5G) и (51) вычислим проекции скорости и ускорения на оси X, у и г:

Vx = Racosat, w--Raybm&t, Vy = 2R sin 2at, = ARa" cos 2wt, = i?ra cos ra, 10 = - Ra" sin ю.

Следовательно,

V = Roi cos at i + 2Rm sin 2v)tj + Ra cos atЪ, w = - Ra" smati-]-4Ra"cos2atj-Ra smatk,

V == Ra (cosra/ i + 2 sin 2at j + cos atk), w = Ra"{ - sinra/t-b 4cos2ra/ - sin atk).

Далее находим модули векторов скорости и ускорения по формулам (54) и (56):

\v\ = RaV2 (cosra + 2 sin 2at) = V2R со cos at-Vl+ Ssm"at, I да I = Ra"V2{smat 8cos"2ai) = V2Ra" • /sin at+ 8 cos" 2af.





Рис. 91

если паровоз движется равномерно по прямолинейному участку пути со скоростью Up=16 MJceK, и найти скорость и ускорение точки М. Колесо катится по рельсу без скольжения, а его радиус равен R = l м. В начальный момент точка М занимает положение М„ на вертикальном диаметре колеса (рис. 91).

Решение. Ось Ох направим по рельсу, а ось Оу проведем через точку М„, принимая за начало координат точку А. Рассмотрим два положения колеса в начальный момент / = 0 и в текущий момент времени t. Отметим положение центра С колеса и его радиуса С А, на котором расположена точка М в момент t. Так как расстояние от центра колеса до рельса все время равно радиусу R, то точка С движется по прямой, параллельной оси Ох, и притом по условию задачи равномерно, а потому расстояние от этой точки до ее начального положения равно CcC = vJ. Так как СБС„Л„, то Л CD есть угол поворота колеса вокруг своей оси за t сек, который обозначим через ф. Для того чтобы найти уравнения движения точки М,

Задачи, в которых требуется составить уравнения движения точки в декартовых координатах и определить траекторию движения, а также скорость и ускорение точки {задачи 317, 319, 327, 332-334, 359, 369)

При решении задач этой группы следует сначала составить уравнения движения точки; для этого нужно рассмотреть положение движущейся точки в произвольный момент времени, а не ее начальное или конечное положение, и выразить ее текущие координаты как функции времени /. Далее следует придерживаться такого же плана, как и при решении задач предыдущей группы.

Пример 56. Составить уравнения движения точки М колеса паровоза, отстоящей от оси колеса на расстоянии г, равном 0,8 м.



нартдем координаты зтой точки:

Хм = АВ, ум = МВ.

Но A„B=Afi - CE = CC-CE и МВ = МЕ + ЕВ, или XM = Vc:t - CE, yM = R + EM. Из треугольника МЕС имеем:

МЕ= г sin (ф-90°) = - г cos ф, ЕС = г cos (ф-90°) = г sin ф,

а потому Хд, = -Г81пф, = R - cosfp.

Найдем зависимость угла ф от времени t. Так как качение

колеса по рельсу происходит без скольжения, то - AD = DAq. Но

DAo = ССо = Л DA = R(f,

а потому

Vct = R(i>

Ф = = 16<.

Таким образом.

= I6t - г sin 16, = 1 - rcos 16

г. е. искомой траекторией является укороченная циклоида. Если точка М находится на ободе колеса, то г = ? и мы получаем следующие уравнения движения циклоиды:

Ум = -cosf.

Если же г>7?, например, r=l,2R, то аналогично можно получить уравнения движения точки М, описывающей удлиненную цик-клоиду.

Подставив значение г в уравнения движения точки М. имеем-= 16/ -0.8 sin 16/ = 1 0,8cos 16/.

Для определения проекций векторов скорости и ускорения на оси л; и у воспользуемся формулами (50) и (51):

и=16 -12.8cosl6/, Шд,=204.8 81п 16/,

= - 12.8sin 16/. Шу=204,8со516/. - •





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [49] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.004