Главная Промышленная автоматика.

9 cos

Таким образом,

gcos~t~sin~t j/d-sm-t

(.-.,„.i,)-

В момент , = 3 сек

v=a cMJceK, да, = a cmIcck.

Так как и, >0 и да, >0, то скорость и ускорение точки М направлены от точки О, т. е. по вертикали вверх, и точка М движется ускоренно.

§ 2. ЗАДАЧИ ТИПА II

Криволинейное движение точки

Первая группа

Задачи, в которых требуется определить траекторию-, скорость и ускорение точки из уравнений движения в декартовых координатах

(задачи 311, 313-316, 350 , 322 , 326, 328, 349, 352 , 354)

Если движение точки опреде .яется уравнениями в декартовых координатах, то, для того чтобы найти траекторию точки, достаточно из уравнений движения исключить время t. Вектор скорости и вектор ускорения определяются по их проекциям на оси декартовых координат, причем

dx л dt

w = x =

> (50)

- dz

dH dt • dy dt d dt

(51)

Отсюда получаем формулы разложения векторов скорости V и ускорения да по координатным осям:

v = xi + yj +zk, w = xi-]-yj+ zk..

(52) (53)



Модули и направляющие косинусы векторов скорости и ускорения определяются по формулам:

cos (и, 0 = 7, cos (v, ~j) -----

cos (v, k) =

cos (да, t) = :

cos {w, 1) = -=, \w\

cos (да, k) =

(54) (55)

(56) (57)

Пример 55. По заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах найти траекторию, скорость и ускорение этой точки:

1) = -J(e« + e-*) = Gch(feO;

y=(e*-e-**) = 6sh(feO;

2) x = R sin at;

y = R {I-cos2at); z = R sm at.

(Координаты л;, у и 2 заданы в метрах, а t - в сек.)

Решение. 1) Чтобы найти траекторию точки, исключим из уравнений движения время t; из первого уравнения имеем:

= е**Н-е-**, а из второго: = е**-"е**. Возведя эти равенства

в квадрат и вычитая второе из первого, получим:

-t=-(e- + e--Y-ie--e--y = A, или .-=1.

Следовательно, искомая траектория есть гипербола с полуосями а и 6. Полагая в начальный момент tQ = Q, находим: XQ = a, У0 = 0, т. е. в начальный момент точка находится в вершине гиперболы Ао{а, 0). При дальнейшем возрастании t координаты X и у точки возрастают, оставаясь положительными. Следовательно, точка А движется по правой ветви гиперболы в направ-



лении, указанном на рис. 90. Воспользовавшись формулами (50), (51), найдем проекции скорости и ускорения точки на коор динатные оси:


Рис 90

Далее по формулам (54) -(56) находим:

cos(t), О-

cos(u, /) = :

v., Ьк

Ho л;* + у* = /-*, а потому w = kh.

Кроме того, w = kxi + kyj = k{xi + yj).

Так как xi + yj = r, то w = kh, т. е. вектор ускорения направлен по радиусу-вектору движущейся точки.

2) X - R sin О) t,

i/=/?(l-cos2u)0. z = Rsm(oi.

Чтобы найти уравнение траектории, достаточно из уравнений движения исключить время t. Из первого и третьего уравнений имеем: z = x-это есть уравнение плоскости, проходящей





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [48] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0038