Главная Промышленная автоматика.

3) задачи, в которых применяется естественный способ задания движения точки, т. е. задана траектория движения, а уравнение движения по этой траектории либо задано, либо его можно найти из условия задачи;

4) комбинированные задачи.

§ 1. ЗАДАЧИ ТИПА I

Прямолинейное движение точки (задачи 322-324, 336-342, 408-411)*

Если точка движется прямолинейно, то в этом случае скорость V и ускорение w направлены по прямолинейной траектории, а модули их равны:

dt"

(49)

где s-расстояние движущейся точки, отсчитываемое от некоторой неподвижной точки О траектории.

Если выбрать прямую, по которой движется точка, за ось Ох, а расстояние 0Л1 = s обозначить через х, то проекции векторов скорости V и ускорения w на направление траектории будут равны:

dx dH -г-пч

w = -jj, (50)

где V и w-алгебраические значения скорости и ускорения,

причем знаки и указывают, в какую сторону по оси Ох

направлены векторы скорости и ускорения.

При составлении уравнения прямолинейного движения точки необходимо рассматривать положение движущейся точки в произвольный момент времени t, а не ее начальное или конечное положение и выразить ее расстояние от начала отсчета как функцию времени /.

Пример 53. Линейка эллипсографа длиной АВ = 1 = 1 м скользит своими концами по осям Ох и Оу. Конец А линейки движется по оси Ох, причем закон этого прямолинейного движения выражается так: ОЛ = О, И лг. Составить уравнение движения точки В и определить скорости и ускорения точек Л и В (рис. 88).

* Здесь и дальше номера задач указаны по «Сборнику задач по теоретической механике» проф. И. В. Мещерского, изд. 1950 г. н послед, изд.


Рис. 88



Решение. Точка В движется прямолинейно по оси Оу; расстояние этой точки от неподвижной точки О найдем из прямоугольного треугольника ОАВ:

ОВ = Vab-oa = Vi-o,oit\

Таким образом, уравнением прямолинейного движения точки В запишется так: г/в = ]/1 - 0,01f*.

Скорости и ускорения точек А и В, которые направлены соответственно по осям Ох и Оу, найдем по формулам (49):

dxA dO,U dt ~ dt

dyn d Vl-O.OU"

«"ЙГ=--di-

= 0,1 MJccK, -o.ou

V 1 - 0,01/2

MJceK,

V i-o,ow-t

= -0,01

-o.ou

V1-0,0U

0.01

/24 T

1 - 0,01/5

MJceK.

(1-0,0И«)

Так как <0 и <0, то скорость ползуна В направлена

к точке О и ползун движется ускоренно.

Пример 54. Круглый эксцентрик диаметром 2г враш,ается вокруг оси О, отстоящей от геометрической оси С эксцентрика на расстоянии, равном ОС==а =

= -g ; угол ф изменяется по закону Ф = у (угол ф измеряется в

радианах, г - в см, а t-в сек). Найти уравнение прямолинейного движения точки М стержня MN, движущегося в вертикальных направляющих, как указано на рис. 89, а также скорость и ускорение этой точки в момент , = 3 сек (рис. 89).

Решение. Стержень MN движется в вертикальных направляющих, а потому точка М стержня движется прямолинейно

по неподвижной прямой, проходящей через точку О и направленной вдоль стержня MN. Выберем эту прямую за ось Оу, а начало отсчета - в точке О и выразим расстояние ОМ=у


Рис. 89



как функцию времени , для этого достаточно выразить отрезок ОМ через угол ф. Проведя из точки С высоту СЕ в треугольнике мое, имеем:

0М=0Е + ЕМ.

Но 0£ = асо8ф, £C = asin9. EM = VМС - ЕС" = Vr"-a" sinY а потому

у = ОМ = а cos<p-\-Vf-sin" (р.

Подставляя значения угла ф и г = 3а в последнее равенство, получим закон движения точки М:

y = a(cosi<-b /9-sinf Скорость и ускорение точки М найдем по формулам (49):

COS-g- t

па sin t

\ /9-sin 2/9-s,ni

x(cos+ /g-sinl-/).

Кроме того,

dPy dv

sin -- t

sin i

/9-sin

Так как ~ = v n

at dt

s.n-2-/

/9-si„.-; 2(9-si„-.f

9n cos





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [47] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0036