х, = 0;

y. = /.cos30

„ I

COS 30

У. = У. = 0-

Кроме того, S = ni?. Так как площади вырезанных кругов отнимаются, то, как было указано выше, их надо считать отрицательными, т. е.

5. = -..--"

36 •

Таким образом, получим табл. 12.

Таблица 12

Координаты искомого центра тяжести будут:

V 64 16 36 V

..... "~<-i4+64) бгз „

Итак, x = 0, y=s=0,02i?.

64 16 36

Четвертая группа

Разбив данное телона п простейших по форме частей, обозначим объемы этих частей V,., а координаты их центров тяжести щ, Z,.. Тогда координаты центра тяжести данного тела

определяют по формулам:

(t=l,2.....л) (43)

Пример 50. На рис. 84 показан разрез тела, состоящего из цилиндра радиусом т и высоты h и двух полу шаров радиусами i?, i?,, центры которых совпадают с центрами нижнего и верхнего оснований цилиндра. Определить центр тяжести этого тела, если R = 2R,

h==4R„ r = 2.

Решение. Так как ось г является для данного тела осью симметрии, то искомый центр тяжести С этого тела лежит на оси 2, поэтому достаточно вычислить только одну координату 2.

Обозначим объемы полушаров и цилинд- чччччччччччччч4 ра соответственно V,, F„ V,, а их центры Рис. 84

тяжести C, Сд, Cj. За начало координат

выберем точку С,. Тогда эти объемы и координаты центров жести С,, Cj, С, будут соответственно равны:

V, =-яР = 144яЛ

.=-(1+1«.)=- •

V==nRl = 18лЛ

, Л , 3 р. 57 г - 2 "г 8 » "~ "е"

2. = 0.

Искомую координату центра тяжести данного тела находим по третьей формуле из (42):

§3,44 .57 . У.г. + У2г2+У.г. 4*+8" V. + V,+V. - . 174

1413

или Итак,

2„ = -6,09 г.

2, =г -6г.

в некоторых случаях применение метода разбиения тела (или данной плоской фигуры) на простейшие части связано с особым приемом, который можно назвать методом дополнения.

* Расстояние от центра тяжести полушара радиусом R до его основа-

НИЯ равно -g- R (см. учебник проф. И. М. Воронкова, § 56).

Сущность этого метода состоит в следующем: к Данному телу / присоединяют второе тело так, чтобы получилось новое тело / простой геометрической формы, центр тяжести которого легко можно определить. Например, продолжив две противоположные стороны данного четырехугольника до их пересечения, можно дополнить его до треугольника; усеченный тетраэдр можно дополнить до четырехгранной пирамиды. Если при этом положение центра тяжести присоединенного тела также легко можно определить, то к телу / применяем метод разбиения на простейшие части; это тело можно рассматривать состоящим из двух частей: данного тела / и добавленного тела , и, следовательно, можно воспользоваться формулами (43).

Пример 51. Определить расстояние центра тяжести усеченного круглого конуса ADEB от его нижнего основания, если известны радиусы R и г верхнего и нижнего оснований конуса и его высота h (рис. 85).

Решение. Начало координат выберем в центре О нижнего основания усеченного конуса, а ось г направим по его высоте. Так как ось z является осью симметрии усеченного конуса, то искомый центр тяжести лежит на этой оси в некоторой точке С с координатой г, которую и требуется определить. Применяя метод дополнения, дополним данный усеченный конус до конуса АВК.

Пусть С, и Cj-центры тяжести конусов ARB и DKE, V„Vj -их объемы. Тогда ОС, = г, ОС = г и V=V + V. где V-объем данного усеченного конуса. Рассматривая конус ARB, как бы состоящий из двух частей ADEB и DKB и применяя формулу (43), имеем:

Рис. 85

откуда

2,- =

(44)

Так как объемы двух подобных конусов АКВ и DRE про-

порциональны кубам радиусов их оснований, то ; = и, следовательно.