Главная Промышленная автоматика.

если угол тре-

Рис. 54

Найти отношение весов -jr- при равновесии,

ния грузов о плоскость равен ф (рис. 54).

Решение. Найдем наибольшую величину отношения ,

при которой еше возможно равновесие, предполагая, что дальнейшее увеличение этого отношения вызовет движение груза А по наклонной плоскости вниз, а, следовательно, груз В начнет двигаться вверх. В этом случае силы трения и F, приложенные к грузам Л и В, будут направлены вдоль соответствующих наклонных плоскостей, как указано на рисунке. Нормальные реакции наклонных плоскостей, приложенные к грузам, обозна-

чим iV, и iVj. Рассмотрим равновесие груза Л, к которому приложены силы Р, iV,, Fl, а также сила натяжения Т, веревки.

Проектируя эти силы на направление АО и направление, перпендикулярное к АО, получим два уравнения равновесия:

1) F+T, -Psina = 0,

2) iV,-Pcosa = 0.

Аналогично, рассматривая равновесие груза В, приложены силы Q, Т", и сила 7\ натяжения веревки проектируя эти силы на направление ОВ и направление, перпендикулярное к ОВ, получим еще два уравнения равновесия:

3) FlP-r, + Qsinp = 0,

4) iVj-Qcosp = 0.

Учитывая, что Т, = Т, исключим эти две неизвестные силы, сложив первое уравнение с третьим. Тогда получим:

1) F-f Ff-Psina + Qsinp = 0, ]

2) iV, = Pcosa,

3) N, = Qcosp. Ho

• 4) F[P = tgфiV, = tgфЯcosa,

к которому и

поэтому

F? = tgфЛ/J=-tgфgcosp, F[P + F? - tg Ф (P cos a + Q cos p).



с другой стороны, из первого равнения имеем: F7 + F7 = P sina-Q sin f,.

Следовательно,

P sin a-Q sin p = tg ф (Я cos a + Q cos p). Разделив это уравнение на Q, получим:

sina-sinp = tgф- cosa-Ь cos pj.

Отсюда

-Q (sin a-tg Ф cos a) = sin p + tg ф cos p

sin P + tg ф cos P sin ф cos P + cos ф sin P sin (P + ф) Q ~sina-tgфcosa~sinacosф-cosasinф sin (a-ф) "

Таким образом, мы нашли наибольшее значение отношения

при котором еще возможно равновесие, t. е.

/ Р \ з1п(р + ф)

V Q/max 5Ш(а-ф) •

Найдем теперь наименьшее значение отношения ---, при котором существует равновесие, но так, что дальнейшее уменьшение этого отношения вызовет опускание груза В и поднятие груза А,

В этом случае направления сил трения F\ и-Fl будут противоположны направлениям этих сил в предыдущем случае.

Поэтому, чтобы получить наименьшее значение отношения , достаточно в первом и третьем уравнениях равновесия изменить знаки при FY и Fl на обратные, что равносильно изменению внака при tgф в четвертом уравнении. Следовательно, будем иметь:

sin (Р-ф) sin (а + ф)

Таким образом, равновесие данной системы возможно при условии:

sin(P-ф) <- £.< 81п(Р + ф) sin(a + ф)~~~ Q "~~sin(a-ф)"

Пример 31. Два клина А и В, коэффициент трения между которыми / = tgф, могут двигаться без трения в своих направляющих. К клину А приложена сила Р.

Какую силу Q нужно приложить к клину В, чтобы клин А двигался равномерно в направлении действия силы Р, если углы аир известны? Весом клиньев пренебречь (рис. 65).



Решение. Обозначим реакцию направляющих, приложенную к клину А, через а реакцию направляющих, приложенную к клину В, через Р,. Так как каждый клин может двигаться в своих направляющих без трения, то реакции Р, и /?2 направлены по нормали к поверхности соответствующего клина.

При равномерном движении клина А в направлении силы Р клин В будет скользить по клину А вверх, а потому сила трения f J, приложенная к клину В, будет направлена по прямой CD вниз, т. е. в сторону, противоположную перемещению


Рис. 55

клина В относительно клина А. По закону равенства действия и противодействия сила трения клина В, приложенная к клину А, будет равна по величине и направлена противоположно силе трения F, а нормальная реакция клина А, приложенная к клину В, равна по величине и направлена противоположно нормальной реакции N клина В, приложенной к клину Л, т. е.

iV. = -iVj и F. = -Fj. Так как клин Л движется равномерно, то силы Р, Р,, iV, и Р„ приложенные к этому клину, уравновешиваются. При этом клин В будет также двигаться равномерно, и, следовательно, силы Q, Pj, Р, iVj, приложенные к этому клину, тоже уравновешиваются. Поэтому сумма проекций всех сил, приложенных к каждому клину, на направление, движения этого клина равна нулю, т. е.

1) Р-Р, cos а-Л/, sin а = О,

2) PjCosp + iVjSinp -Q = 0. Кроме того,

F, = fN, и Pj = fiVj,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [25] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0056