Главная Промышленная автоматика.

при f = 0 имеем

Пусть Тогда

л; =0, i =0.

С. = 0. и, следовательно,

ФоТО. Фо = 0.

Фо. С5==Фо. 4 = 0

ф = ф„ coskt.

Пример 190. Крановая тележка (рис. 228) массой = 22000 кг наезжает со скоростью „==1 MJceK на упругий буфер, жесткость которого с = 8700 н/сж. В центре тяжести Л тележки подвешен груз В мас-

сой = 20400/СЗ на каната длиной PihtjH-

1=14 м. Определить движениз тележки и груза после соприкосновен ля тележки с упором, пренебрегая массой каната.

Решение. В качестве обобщенных координат данной системы с двумя сте- г, пенями свободы принимаем перемещение S тележки с момента соприкосновения с упором и угол ф отклонения каната от вертикали, который в начальный момент равен нулю. Если рассматривать груз как материальную точку, то кинетическая энергия системы равна


где скорость тележки y = s, а скорость Ув груза-геометрическая сумма переносной скорости, равной v, и относительной скорости (по отношению к гележке) у = /ф и направленной перпендикулярно к Л В. Поэтому

у = у-I- 2; cos ф = s -f /V -h 2s/cp cos Ф

и, следовательно,

Г = (m, 1- m,) I + f -h 2/ф5 созф).



Так как сжатие пружины равно, очевидно, s, то потенциальная энергия данной системы равна

Отсюда

П = -+ mgl (1 - cos ф).

~ = -mjq>ss\n ф, = т, [ihp -f Is cosw), "Ф 5ф

~ = (т,+m,)s+mj, cos(р, -=0, дП

= ("i + "h) s +cos q>q> - mjq>° sin ф.

= CS.

Составляя теперь для данной системы два уравнения Лагранжа, получаем

(т, -)-т,) s-f т/ф cos <p-{-cs =mj(psm ф; s cos ф + /ф +g sin ф = 0.

Считая, что в данном случае угловая скорость ф и угол ф отклонения каната от вертикали при движении остаются небольшими, полученные уравнения можно заменить приближенными уравнениями, полагая sin ф ф, cos ф 1 и пренебрегая членом, содержащим ф". Тогда получаем следующую систему двух линейных дифференциальных уравнений:

ms-i- mj(p + cs = 0\ \ 8+/ф + ё"Ф = 0, I

где т = т, + т.

Частные решения уравнений (а) ищем в виде

s = Л, sin (fe/-1-а) и ф = Л, sin (fe/+а).

Подставляя эти выражения и их вторые производные в уравнения (а) и сокращая эти уравнения на sin(fe/~-u), имеем

ic-mk) Л, - m,/feM, = 0; - feM, + (g-/fe) Л, = О,

Отсюда получаем следующее уравнение частот: {c-mk) (g- /fe")-m,/fe* = 0.



После упрощений это уравнение принимает вид

где - .

Решая уравнение частот, находим откуда

0,8 шс- и « 6,3 шс-.

Таким образом, для отношения амплитуд получаем два значения:

с-/п/г? k" c-tnkl kl К = ---;=-4 = 0,76 и К =-г = -Ч = -0.07.

Обозначая через ЛГ и ЛГ амплитуды, соответствующие первой частоте k, а через Л,* и Л* амплитуды, соответствующие второй частоте k, имеем

f ЛГ* = ЯИ5". л" = м."-

Итак, получаем две системы частных решений уравнений (а). Первая система:

5"> = Л1"зш(А,Г-Ьа,) и

Вторая система: s(> = Л* sin {kJ + и ф"> = Л1" sin (й,<+а,) = Я,Лр sin где а, и Uj, - начальные фазы, соответствующие частотам и k.

Первая система частных решений соответствует так называемому первому главному колебанию рассматриваемой механической системы, вторая сисгема частных решений соответствует второму главному колебанию.

В силу линейности исходных дифференциальных уравнений (а) общее решение этих уравнений складывается из частных решений, т. е.

5 = 5"Ч-8<> = Л</з1п(./+а,) + Л(з1п(й,+а; 1

Ф<>4-ф<> = Л,ЛГsin (й,+aj +Х,Л1" sin (V+ а,). /





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [136] 137 138 139

0.0037