Главная Промышленная автоматика.

Решение. В данном случае рассматривается система с двумя степенями свободы. Координатные оси располагаем так, как указано на рис. 227. Б качестве обобщенных координат выбираем

абсциссу X точки С и угол ф отклонения стержня СА от вертикали. В соответствии с этим в данной задаче составляем два уравнения Лагранжа:

d (дТ\ бГ „


\дхУ

±(дТ\ дТ д

Обозначив общую массу цилиндров через т,, а массу груза А через т,, вычисляем кинетическую энергию Т системы, которая слагается из кинетической энергии цилиндров и кинетической энергии Г, груза А, причем

i.= ~o-+-С9" и 7, = ---,

где Ус и f-скорости точек С и Л, ю-угловая скорость цилиндров, а /с-момент инерции цилиндров относительно оси вращения, проходящей через точку С. Следовательно,

При этом

и co=f =

где -радиус цилиндров.

Для определения скорости точки А выразим ее декартовы координаты х и через выбранные обобщенные координаты Xj = x + l sm(p, г/ = /со8ф.

Отсюда

ха = х-\-1 cos фф, у = - t sin фф. Следовательно, Va = Ха + уа = {х -\-1 cos фф)" +1" sin* фф" = = х" + /" со8"фф" -- 2л:ф / cos ф +1" sin" фф" = х + /"ф" + 2х(р1 cos ф. Теперь получаем

. ? (х" -f /"ф" -1- 2/л:ф cos ф) =

= ~-\{\,Ът, + mj л;" mj, (/фН-2хф cosф)].



Отвюде

={1,5т-\-т)х+ mj(p cos ф;

= (I.5m, +m)x + mj{((>совф-ф sinф);

= mj{l(p + X cosф); = m,/ ( /ф + cos ф---Хфзшф); = -т2/лхр81пф.

Обобщенные силы и (? находим по общим формулам (247). Замечая, что Р, = Р = 0, Р,у = Р„ Р,у = Я„

г/с = О и г/ = / cos ф, на основании этих формул получаем О -Р , р

: а. = Р. + Р. = -.«тф = -т,я/й!пф.

" Так как в данной задаче система находится .под действием сил тяжести, для которых существует силовая функция, го обобщенные силы можно определить и по формулам (249). Силовая функция для сил Р, и Р имеет вид

иРул Py = PJ coscp.

Следовательно,

Qx = г7- = О, = == - Р J sin ф = - т, gt sin ф.

Таким образом, уравнения Лагранжа принимают вид (1,5т, + т)х + mj (ф cos ф-ф sin ф) == О, . . /ф + хсозф t gsin Ф-=0.

Так как по условию задачи отклонения маятника С А от вертикали несьма малы (т. е. координата ф и ее первая производная по времени являются весьма малыми величинами), то полученные точные дифференциальные уравнения движения системы можно заменить более простыми приближенными уравнениями, полагая 31Пф(5»ф и созф»!. Кроме того, произведение фsin ф является малой величиной более высокого порядка, чем остальные члены; поэтому можно положить фsin фя!йО; тогда получаем прибли-



женные уравнения Лагранжа:

+ Ф + СТ = 0. J (б)

(l,5m,+mj,)A: + m,Z(p = 0, 1 (а)

x + lq> + pw = 0. i

Из уравнения (а) имеем

1, 5т, + 2

Первое интегрирование этого уравнения дает

х = -.,". ф + С.. 1,5т,+ т2

После вторичного интегрирования получаем

= -1Т5ЙФ + . + С-

Для того чтобы определить функцию ф, из уравнений (а) и (б) исключаем х:

-T75?k + + = °

1,5т,/ф + (1,5т, + т,) §ф = О,

Вводя обозначение .

\ 3mJ I

имеем

Ф +"ф = 0. Общее решение этого уравнения будет Ф == С, cos fe/--sin fe/,

откуда

Ф = - Cjfe sin kt + Cfe cos kt.

Следовательно,

x = С,/ + С,(С, cos fe/ -f С, sin fe/).

Полученные уравнения, выражающие координаты jc и ф как функции времени /, и определяют движение рассматриваемой системы. Произвольные постоянные С,, С,, С, и С определяются по начальным условиям движения системы. В начальный момент





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [135] 136 137 138 139

0.0036