Главная Промышленная автоматика.

ставить в следующем виде:

(Р + 0,5 G) S, + Gs, = f Р sin <х- ~]g; )

Gs,+(Q + 2G)s,=(Q-2-)g. J

Подставляя сюда числовые данные, имеем •= • 5s,+2s, = g; 1

s,+3s; = 0. I

.Отсюда

i. • 3 1

, = Гз= = -Гзб-

Задачи типа III

В задачах этого типа рассматриваются малые колебания системы с одной (первая группа) или двумя (вторая группа) степенями свободы около положения устойчивого равновесия. В этих задачах положение устойчивого равновесия следует принять за начало отсчета обобщенных координат и, далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составлять дифференциальные уравнения движения системы.

Эти уравнения получаются, вообще говоря, нелинейными. Однако, если заранее известно, что обобщенные координаты и обобщенные скорости являются малыми величинами, то полученные уравнения можно линеаризовать. Линеаризованные уравнения получаются из данных нелинейных уравнений путем отбрасывания членов, содержащих квадраты и более высокие степени обобщенных координаг и скоростей. Например, при малых значениях координаты а можно положить sin а«а; cos а =5=1. Члены, содержащие а, а", аа, следует отбросить.

Первая группа (залачи 1243-J247)

Пример 188. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний системы, показанной на рис. 226, около ее равновесного положения и найти период этих колебаний, если известны массы т, и т грузов AnD, жесткость с пружины ВЯ и длины стержней 0Л = /,, OB=OC = CD = l. Массами пружины и стержней, а также размерами груза А можно пренебречь. При горизонтальном положении стержня АВ вес груза А уравновешивается силой упругости пружины. При малых отклонениях системы от равновесного положения можно считать, что пружина остается вертикальной.



Решение. За обобщенную координату данной системы с одной степенью свободы принимаем угол а отклонения стержня В АВ от горизонтали, отсчитываемый от оси X против часовой стрелки, тогда имеем уравнение Лагранжа:


Вычисляем кинетическую энергию системы:

т, V

л" А

где и Цд-скорости грузов А и D, но

ц = /,а и ид = г/д = (2/, cosa) = - 2/, sin а а,

поэтому

Г = I (т/, + 4mjl Sin" а) а".

При малых колебаниях системы можно пренебречь малой величиной 4-го порядка sinaa Тогда Г = yЧfa Вычисляем потенциальную энергию системы:

= mg (h - l sin a) + mg (ft-2/, cos a) + •

где h-высота точки О над поверхностью земли, Я-удлинение пружины, причем

Я- = + h sin а,

где Я,.-статическое удлинение пружины при равновесном по- ложении системы. Следовательно,

П = (т + nij gh-m, gt, sin a~2m, gl cos a(Я„ H- sin a).

Теперь находим

дТ ,2- d /дТ \ ,2-- дТ

Вычисляем обобщенную силу как взятую с обратным знаком частную производную от потенциальной энергии по обобщенной



координате:

Q = - 1 = tngl, cos a-2m, gl sin a-с + / , sin a) cos a.

Так как при равновесном положении системы сумма моментов относительно точки О сил, приложенных к рычагу АВ (веса груза А и силы упругости пружины), равна нулю, то mgl = ckl; поэтому

Q = - {2mgl + cll cos а) sin а = - {2mg + с/, cos a) sin a.

При малых колебаниях системы около положения равновесия ввиду незначительности угла а можно положить

sina«=!a и cosa«l.

Тогда

Q = ~l{2mg+cl)a.

Подставляя найденные значения производных :т,- - ), з- и

обобщенной силы Q в уравнение Лагранжа, получим дифференциальное уравнение малых колебаний данной сисгемы

m,/,a +/2m,g-Ьс/J а = О,

а + k"a = О,

Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний с круговой частотой k. Период эгих колебаний равен

=2я/.

Втораягруппа (задачи !219, 1301, 1303, 1304)

Пример 189. Два однородных сплошных цилиндра общим весом Р,, жестко закрепленные на оси, толщиной и массой которой можно пренебречь, образуют скат, опирающийся на горизонтальные опоры (рис. 227). На той же оси свободно насажен тонкий стержень длиной несущий на конце точечный груз А весом Р. Определить движение этой системы, пренебрегая массой стержня и предполагая, что отклонения маятника СА от вертикали весьма малы; трение в узле С отсутствует и цилиндры катятся по опорам без скольжения (рис. 227).





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 [134] 135 136 137 138 139

0.0036