Главная Промышленная автоматика.

вить в следующем виде:

(Р,Л + Р,е sin9)cp + 0,5P,esin 2фф=4-+11 + 2 + cil+e-e cos ф)] eg sin ф = Mg.

Вторая группа (задачи 1210, 1213, 1214, 1218, 1221)

Пример 185. На шкив радиуса г намотана нить

весом Р = mg, где

которой подвешен точечный груз груза (рис. 223). К шкиву приложен вращающий момент М, при помощи которого этот груз поднимается, раскачиваясь в то же время в вертикальной плоскости. Составить дифференциальные уравнения движения системы, если момент инерции шкива относительно его оси равен и длина свисающей части нити при ее вертикальном положении в начальный момент равна 1„.

Решение. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат принимаем угол ф поворота шкива и угол ф отклонения нити от вертикали. Тогда движение системы определяется уравнениями

к концу т- масса

л -V-----\

. /л

£ \

Рис. 223

d /дт\ дт

Расстояние от точки В подвеса груза до точки А набегания нити на шкив определяется следующим образом:

Отсюда находим координаты точки В:

a; = /cosi]5-/ sini3 = (/„-/ф--г-ф)созф-г sin я];; =. / sin яр-Ь г cos г) = (/-f-ф +/-ф)

cos я]:-Г8!пя]5; 1 sinol-f-rcos-. I

Кинетическая энергия системы слагается из кинетически;- энергий шкива и груза:

Г = -У„гр i--jm(x+y).



но на основании равенств (б)

л; = - гф cos я]5-[1-пр + г\р) sin я]; - i;

i/ = - Гф sin »]5 + (/„-Гф-ЬГя]5) COSI])-!];. Следовательно,

7 = + f [г\р +{1„-пр+ гШ1.

Производим операции, указанные уравнениями (а): дТ

= У„ф -Ь тл> = (У„ -f mr) ф,

d / дТ

-Ьтг)ф,

dt\d(p ,

= - mr{l,-np + r)xp\

= m(Z„-гф + ,-ф) •ф.

+ 2mr (/„-гф4- гя];) (ijj-ф) ijj; дТ

щ = гпг{1-пр + г)

Варьируя координаты ф и я];, находим сумму виртуальных работ сил, действующих на систему:

2бЛ = М6ф + Рбл;,

но на основании уравнений (б) имеем

= Щ,Ч> + цЬ<Р = - ГС051ф(р - {1 - Г(р-гГ1р) 81ПЯ])-бг1).

Таким образом,

2 б Л = {М-Рг COS г])) бф-Р (/„- гф + r-ip) sin 1)561]).

Коэффициенты при вариациях бф и бя]: обобщенных координат в выражении виртуальных работ и являются обобщенными силами системы

Q = M-Рг cos п; )

Q = -Р(/„ -Гф-Ь-)81ПЯ]). /

Учитывая равенства (в), (г) и (д), уравнения (а) можно представить в следующем виде:

(У „ 4- тг)ц> + trir (/„-Гф 4- 7-я])) я]; = УИ-Рг cos я];;

Со-/-ф -ф) 1 + - 2ф)11 = -g sin li).



Задачи типа II Первая группа (задачи И79, \Ш, 1182-1189)

Пример 186. Водило АВ, представляющее собой однородный тонкий стержень длиной 21 и массой т, вращается вокруг оси О неподвижной шестерни / под действием приложенного к нему момента М и приводит в движение две одинаковые свободно насаженные на водило шестеренки 2 W. 2 радиусом г и массой т = т каждая, которые катятся по сцепленной с ними неподвижной шестерне / и приводят в движение зубчатое колесо 3, обладающее

массой т = т. К окружности

колеса 3 приложена сила сопротивления Р. Определить угловое ускорение г водила, если шестеренки 2 и 2 представляют собой сплошные однородные диски, а масса колеса 3 равномерно распределена по его окружности (рис. 224).

Решение. Положение данного механизма вполне определяется одним параметром-углом ф поворота водила, который и принимаем за обобщенную координату. В соответствии с этим в данной задаче имеем одно уравнение Лагранжа:


Рис. 224

Вычисляем кинетическую энергию Т системы, которая слагается из кинетической энергии Твод водила, энергии 2Т двух бегающих шестеренок и энергии Г, колеса 3:

где J и Jj,-моменты инерции водила и колеса 3 относительно оси О, а 2-момент инерции шестеренки 2 относительно оси вращения А.

Угловые скорости со шестеренки 2 и со, колеса 3, а также линейную скорость точки А выражаем через угловую скорость водила со = ф, которая в данном случае является обобщенной скоростью:

1» = сйОЛ = со/,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 [132] 133 134 135 136 137 138 139

0.0036