Главная Промышленная автоматика.

системы, имеем для нее k уравнений Лагранжа II рода: dt \dq ) dq,

dt \дл. • Лп. - Vft.

» -I m;v,

где кинетическая энергия системы Т=2 -; Q, ...

-так называемые обобщенны силы, которые определяются формулами

(247)

Производные q, ... от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями.

Уравнения Лагранжа II родя представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций q,, q, ... q,-

Для того чтобы составить эти уравнения, кинетическую энергию Т системы необходимо выразить через обобщенные координаты и обобщенные скорости. Обобщенные силы можно вычислять одним из следующих способов:

а) непосредственно по формулам (247);

б) чтобы найти обобщенную силу Q, соответствующую обобщенной координате qj, нужно данной механической системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна координата q, а все остальные обобщенные координаты остаются неизменными; затем составить сумму

элементарных работ Xi/,- всех заданных сил на этом пере-(=1

мещении и разделить эту сумму на вариацию bq у, т. е.

(У=1, 2, ... k);

(248)

в) в частном случае если система находится под действием сил, имеющих потенциал, то обобщенные силы определяются по



формулам

где и-силовая функция, П-потенциальная энергия системы, т. е. обобщенная сила равна частной производной от силовой функции или взятой с обратным знаком частной производной ощ потенциальной энергии системы по соответствующей обобщенной координате.

При вычислении обобщенных сил по формулам (249) необходимо предварительно силовую функцию или потенциальную энергию системы выразить через обобщенные координаты этой системы.

Интегрируя систему уравнений Лагранжа, находим обобщенные координаты <7„ q, ... <7, как функции времени t я 2k произвольных постоянных с,, Cj, ... Cg, определяемых начальными условиями движения системы.

Задачи на применение уравнений Лагранжа в большинстве случаев можно отнести к одному из следующих типов:

I. Задачи, в которых требуется только составить дифференциальные уравнения движения системы.

П. Задачи, в которых требуется определить ускорения (линейные или угловые).

П1. Задачи, относящиеся к малым колебаниям системы. Задачи каждого из этих типов можно разделить-на две группы в зависимости от того, рассматривается ли в данной задаче система с одной степенью свободы или с числом степеней свободы, большим единицы.

Задачи типа I

Первая группа (задачи 1190, 1193, 1194, 1196, 1197, 1201, 1203-1205)

Пример 184. Кулачок, имеющий форму круглого эксцентрика радиуса R, вращается вокруг оси О парой сил с моментом М (рис. 222). Вес кулачка равен Р, и центр тяжести его находится в геометрическом центре С,, причем ОС, = е; радиус инерции кулачка относительно оси О равен k. Жесткость пружины, прижимающей тарелку толкателя к кулачку, равна с и при наинизшем положении толкателя (cp = 0) пружина сжата на величину Принимая угол поворота ф кулачка за обобщенную координату, составить дифференциальное уравнение движения системы. Трением пренебречь. Вес толкателя равен Р.

Решение. Движение системы определяется одним уравнением

l(JA-l = Q. (а)



Кинетическая энергия Т системы слагается из кинетической энергии кулачка и кинетической энергии Г, толкателя, причем

Кроме того.

Ус, = il = - cos ср = - е cos ср;

/Сз = /г = cos ср + const.

Учитывая, что г/2 = ез1пф-ф, получаем

т = -- I л= I + § Ф = 1 (Р, + р/ sin= ср) ф-

==l-{P,kРе зшЧр)ф;

Т 1 d 8 о -2

= -Ре зш2ф.ф .

Переходим к определению обобпхенной силы, соответствующей обобщенной координате ф. Кроме движущего момента М, на

систему действуют веса Pj и Р, кулачка и толкателя, а также сила Р упругости пружины. Последняя направлена вертикально вниз и по модулю определяется так:

Р = с (Я„-Ь е-е cos ф).

Варьируем координату ф и определяем сумму виртуальных работ действующих на систему активных сил:

2 б Л = М бф - Р ,б. - Pfiy, - Рбг/,.

Но на основании равенств (б) имеем

бу, =е sin србср; 6, = е sin србф.

Таким образом,

2 б Л = УИбф-[Р,-Ь Р, + с -f е--е cos ф)] е sin србф.

Отсюда находим обобщенную силу системы, соответствующую обобщенной координате ф:


Учитывая равенства (в;, (г) и (д), уравнение (а) можно предста-

Q = = /И - [Р, -f Р, -Ь с (Я„ + е-е cos ф)] е sin ф. (д)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [131] 132 133 134 135 136 137 138 139

0.0043