ляются веса шаров и муфты, а также сила упругости пружины Qcl, где ?L-деформация (сжатие) пружины. Кроме того, в точках А и А приложим центробежные силы

инерции Я")= F$"= - где R - расстояние от центра каж-

дого из шаров до оси вращения у.

На основании уравнения Даламбера-Лагранжа сумма работ всех этих сил при любом возможном перемещении системы равна нулю. Следовательно, пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, имеем

F(-)8xA-Fi8xA-P8yд-P6yA-{P, + Q) УоО.

Хд = - Ха = e + asm(p, y = ул =acoscp и г/д = sinф + откуда Ьхд = - Ьха = а cos ф бф, ty = Ьуд = - а sin ф бф,

8у=Ь созфбф.

Кроме того, R = x = e + asm(:p и, следовательно, Яи) =

= /7(и) = /со = - (е + а sin ф) со.

Таким образом, уравнение Даламбера - Лагранжа принимает вид

2 - (е + а sin ф) со а cos ф -- 2Ра sin ф - (Р, + Q)b cos ф бф = 0.

Отсюда, учитывая, что бф=70, находим

feQ созф = 2Ра + cocosф + sin ф) - 6Р, cos ф; следовательно. Q = 2Р-со+tg ф) - Р,.

Определив Q, нетрудно найти жесткость с пружины. Действительно, деформация пружины Я = /„-(Z-h-6 sin ф), поэтому q q

lo-1 + h + b зшф •

Задачи типа II

(задачи 930, 943-948)

Пример 183. Через блоки А и В с неподвижными осями переброшен шнур, поддерживающий подвижной блок С; части шнура, не лежащие на блоках, вертикальны. Блок С нагружен гирей весом Р = 40 н. а к концам шнура прикреплены грузы весом Pj = 20 н и Р = 30 н. Определить ускорения всех трех

грузов, пренебрегая массой блока и шнура и трением на осях 1рис. 221).

Решение. Располагая координатные оси, как указано на рис. 221, применяем общее уравнение динамики в форме (244), которое в данном случае принимает вид

(р .)бл;+(Р.-5,)бл;, ь(Р,-«,)бх, = 0.

где W, ш,, - проекции искомых ускорений грузов на ось х. Учитывая, что длина шнура постоянна, очевидно, имеем

Таким образом, положение данной

л;, -Ь 2х -\- х = const.

три координаты х, х и х, определяющие системы (предполагается, что все грузы перемещаются прямолинейно), связаны одним условием; следовательно, данная система имеет две степени свободы. Варьируя последнее равенство, находим зависимость между вариациями координат трех грузов: 6д; + 2бл;--бл, = 0,

отсюда

бл; = --(бл:,-Нбд;.

Подставляя это значение бх в уравнение Даламбера-Лагранжа и вынося за скобки множители х и бл;,, полу-• чим

Это уравнение имеет место при любых, независимых друг от друга значениях вариаций Ьх и бл;,, а это возможно лишь при условии, что коэффициент при каждой из этих вариаций равен нулю. Следовательно, должно быть:

Рис 221

W

Рл Р D

-#-. = -2--..

Р Р2 Р п

W---ш2 = -2- -Ра.

2g" g -1 2 - " 2g g ИЛИ, подставляя данные числовые значения весов, w-w = 0, 2w-3x0 = - g.

Отсюда

2 fi

Чтобы получить третье уравнение для определения трех искомых ускорений, продифференцируем дважды по t уравнение д;,-Н 2л;= const. Тогда имеем

+ + - и.

dt"

i-2w + w= 0. Подставляя сюда значения да, и да, получаем

Отсюда находим

и, следовательно,

да = -

Отрицательное значение ускорений да и ш, указывает на то. что их направление совпадает с отрицательным направлением оси X, т. е. что эти ускорения направлены вверх.

§ 4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И РОДА (ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ)

Обоб1ценными координатами механической системы называются независимые друг ог друга параметры, при помощи которых можно определить в каждый данный момент положение этой системы и через которые, следовательно, можно выразить декартовы координаты всех ее точек.

Таким образом, если обозначим /г обобщенных координат

<?„ .....q, то декартовы координаты каждой материальной

точки Ml {х;. У;, Zi) системы можно выразить как функции параметров q, <7з.....<7й и времени t, т. е.

Xi = x,.{q, <7„ .....Qf,, t),

2,-==z,. ((?„ q, <?„ .... <?ft, t).

(i=l. 2, ... rt). (245)

Если связи, наложенные на систему, являются стационарными, то время t в правые части этих уравнений не войдет. Число k независимых обобщенных координат равно числу степеней свободы данной системы.

В соответствии с числом независимых обобщенных координат, т. е. с числом степеней свободы данной механической