содержащие бср,, бф и бфз, получаем -

а (cos ф,-2,Б sin ф J бф, + b (cos ф, - 1 ,Б sin фJ бф, + с (cos ф - О,Б sin фз) бфз = 0.

Это равенство должно выполняться при всяком возможном перемещении данной системы, т. е. при любых значениях вариаций бф„ бф и бфз, а так как эти вариации друг от друга не зависят и каждая из них может иметь произвольное значение, то это возможно лишь при условии, что коэффициент при каждой из этих вариаций равен нулю, т. е.

cos ф, -2,Б sin ф, = 0, cos фз - 1 ,Б sin фз = О, cos фз - 0,5 sin фз = О,

или tgф, = 0,4; tgф, = 0,6667; tgфз = 2. Отсюда находим:

Ф. = 2Г48; ф,.= 33°40; Фз = 64°25,

Задачи типа III (задачи 922-924)

Пример 181. Трехшарнирная симметричная арка нагружена силами Р и Q (рис. 219). Найти горизонтальную составлятощую

реакции шарнира В при указанных на рисунке размерах.

Решение. Горизонтальную составляющую реакции шарнира В обозначим X. Чтобы найти эту реакцию, нужно шарнирно-неподвижную опору В заменить опорой на катках для того, чтобы точка В могла перемещаться в горизонтальном направлении. Сообщим теперь этой точке возможное горизонтальное перемещение бяд.

Тогда полуарка OA повернется вокруг неподвижной точки А на некоторый элементарный угол бфд. При этом точка О получш возможное перемещение bsg, которое будет на-Рис. 219 правлено по касательной к дуге

окружности, описываемой точкой О, т. е. перпендикулярно к АО. Зная направления возможных перемещений 6sp и 6s точек О Я В, находим мгновенный центр

вращения С полуарки ВО как точку пересечения перпендикуляров, восставленных в точках О и В к векторам 6sq. и 6s,. Тогда перемещение полуарки ВО можно представить как поворот вокруг центра С на некоторый элементарный угол бф,. На основании принципа возможных перемещений имеем

2 бЛ =•= б Л + 6 Л + б Л р = 0.

Вычисляя работу каждой из сил Р, Q, X как произведение момента этой силы относительно центра вращения на угол поворота (см. формулу 163), получим

б Л у = I тс (X) I бфс = X 2h бфс,

бЛ = -1 т,. (Q) I бф Q (2Й - fe) бфс *,

бЛ.-=тл(Р)6фд=Рйбфд.

Следовательно, получаем уравнение

2Х/гбфс-Q (2/1-fe) бфс --Рабфд = 0,,

откуда

y Q(2/t-Ь) Ра 6ф л ~ 2h 2h бфс

Так как точка О принадлежит одновременно, обеим полуаркам ОЛ и ОВ,

то 6so = ЛОбфд = ОСбфс-

Но ОА = ОС, а потому 6фд = бф(,, и

X[Q {2h-b)-Pa].

% 3. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ (уравнение Даламбера - Лагранжа)

Применяя совместно принцип Даламбера и принцип возможных перемещений к движущейся системе, можно сделать следующий вывод: при движении системы, на которую наложены совершенные связи, сумма элементарных работ всех заданных сил, действующих на систему, и сил инерции материальных точек системы равна нулю при любом возможном перемещении системы из занимаемого ею в каждый данный момент положения.

* Работа силы Q отрицательна, так как сила Q направлена относительно центра С по часовой стрелке, а поворот полуаркн ВО вокруг этого центра проиаходит против часовой стрелки.

Зтот результат выражается одним из следующих уравнений: 2(? + Р")б7 = 0. (242)

или, так как F" = - mw,

тш)-б7 = 0, (243)

или в координатной форме

[[х-т f) 8x + [Y-m%) + (-mg) бг] =0. (244)

Уравнение (242), или (243), или (244) называется общим уравнением динамики (уравнением Даламбера-Лагранжа). В настоящем параграфе рассмотрим задачи двух типов:

I. Задачи, в которых требуется установить условия относительного равновесия системы.

II. Задачи, в которых требуется определить ускорения точек системы.

В задачах каждого из этих типов могут рассматриваться системы с одной или несколькими степенями свободы.

Задачи типа I

(задачи 925-929, 935-939)

Пример 182. Центробежный регулятор (рис. 220) состоит из двух шаров Л и Л весом Р каждый, размерами которых можно

пренебречь. Шары закреплены У на концах А я А коленчатых

прямоугольных рычагов, которые имеют шарнирные опоры С f" и с на перекладине СОС, соединенной неизменно с осью регулятора. Муфта D весом Р, отжимается вниз пружиной, а с другой стороны поддерживается роликами В Я В рычагов регулятора. Определить жесткость с пружины, если при заданной постоянной угловой скорости со угол отклонения стержней С А и С А от вертикали равен ф. Даны расстояния: 0Е = 1, АС=АС=а, СВ = СВ = Ь, ОС = 0С =е и длина недеформированной пружины

Высота муфты равна h.

Решение. Координатные оси располагаем, как указано на рис. 220. Заданными силами, действующими на систему, яв-

Рис. 220