Теперь нужно найти зависимость между бвд и fis. Так как расстояние между точками В а А при возможном перемещении системы остается неизменным, то проекции возможных перемещений этих точек на прямую ВА, их соединяющую, равны между собой:

т. е.

откуда

следовательно,

bSjj cos --tt-)- =6s2, COStt,

bsg sin (a-P) = Sscostt,

6sfj cos a

6sj ~ sin(a -P)

p Qos a cos P

-sln(a-p) •

Зависимость между 6s и Ss можно также найти, построив мгновенный центр вращения С стержня АВ, который лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных из точек А и В к векторам 6s и Ss (см. рис. 217). Тогда возможные перемещения точек А я В, так же, как их возможные скорости, пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра вращения звена АВ. Следовательно,

6sb СВ

д5д С А •

Но из треугольника АСВ по теореме синусов имеем

. f п \

sin --tt

\ 2 J cos а

С А sin(a-р) sin(a-Р)"

поэтому

6sd cos а

6s А sin(a--p)

Второй способ. Сообщая системе возможное перемещение и пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, имеем [см. уравнение (241)]

2 (ХЬх + Yby) = РЬха + РуЬуА + QxXb + Qbyg =

Теперь следует найти зависимость между вариациями б и 8хд координат точек В и А.

Для этого выражаем координаты Ув и Хд через углы tt и Р; Ув=Ь smp; XA = DE + EA = bcos + acosa. При бесконечно

малом возможном перемещении системы углы аир получат бесконечно малые приращения 6а и бр, а координаты и уд, являющиеся функциями этих углов, получают приращения Ьх и Sg. Пользуясь тем, что приращение функции при бесконечно малом приращении аргумента можно заменить ее дифференциалом, имеем

Sg==6 cospSP; Sx= -b sin p Sp-a sin аба.

Подставляя эти значения Ьх и Ъу в уравнение равновесия системы, получим

ЬР sin р бр-ЬаЯ sin а 6а-Ь cos рбр = 0.

Таким образом, вариации координат точек А и В мы выразили через вариации углов аир. Зависимость же между вариациями 6а и бр легко установить, исходя из того, что

CD = CK + KD = c = const,

Ь sin р+G sin a = c = const. ;

Варьируя это уравнение, находим

а cos а6а-\-Ь cos Р бр = О, откуда 6а = - 5р.

Подставляя это значение ба в уравнение, выражающее условие равновесия сисгемы, получаем

ЬР sin р 8р-ЬР~бр 4 cos р Sp = О,

6[Р sin(P-a)-f QcosPcosalSp = 0, и, следовательно,

Р sin (Р -а) -Ь Q cos а cos р = 0;

отсюда

р cos а cos 3 "sin(a-P)

Задачи типа II (задачи 909, 910)

Пример 180. Три стержня одинакового веса Q соединены между собой шарнирами. Первый стержень может вращаться вокруг неподвижного шарнира О, а к свободному концу третьего стержня приложена горизонтальная сила F, которая удерживает всю систему в вертикальной плоскости в равновесии.

При этом стержни образуют с вертикалью углы, соответственно равные ф,, ф,, ф,. Определить эти углы, если F=0 (рис. 218).

Решение. Принимая центр шарнира О за начало координат, координатные оси направляем, как указано на рис. 218. На шесть координат точек А, В и С рассматриваемой системы наложено три условия (ОЛ = const, ЛВ = const,. ВС = const); следовательно, система имеет k = 2n-s = 2-3-3 = 3 степени свободы.

В соответствии с этим положение данной системы определяется тремя независимыми друг от друга параметрами - тремя углами ф,, ф и Ч>,.

Вес каждого стержня можно разложить на две составляющие, приложенные по его концам; тогда получим систему сил, показанную на рис. 218. Пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, условие равновесия этой системы сил можно выразить в следующем виде:

Учитывая, что по условию задачи F= Q, и производя сокращение, имеем

Рис. 218

дхд + bxg + -6хс + = 0.

Вводя обозначения О А-а, АВ = Ь и ВС = с, выражаем координаты точек Л, 6 и С через искомые углы ф,, ф, ф:

л;д = асо8ф,; = а созф,созф,; = G cos ф, + Ь cos ф -Ь с cos фз; = а sin ф, -Ь Ь sin ф -f с sin ф,.

Отсюда находим выражения вариаций координат этих точек через вариации углов ф„ ф. (р,:

Sx= -аз1Пф,бф,; бл;д= - а sin ф,бф, -6 sin фбф;

бл-с= -а81Пф,бф, -6 sinф56фJ-С81пф2бфз;

бс = а cos ф,бф, + b cos фбфа 4- с cos Фзбфз.

Подставляя эти значения вариаций координат в уравнение, выражающее условие равновесия системы, и группируя члены.