Так как сила Р и скорость груза v направлены по одной прямой в одну и ту ж? сторону, то мощность найдем по формуле (177) (см. гл. III, § 3) N = Pv. Подставив найденные зна-

чения мощности и производной в уравнение (227), получим:

отсюда

di I

12 rP .

Следовательно, движение груза является равномерноускорен-ным.

§ 4. КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ

В этих задачах приходится применять совместно две из тех теорем динамики сисгемы, которые рассмотрены в предыдущих

параграфах; например, теоремы о количестве движения и о кинетическом моменте системы или теоремы об изменении кинетической энергии и о движении центра масс системы.

\ Пример 172. На ступенчатый шкив ве-

сом pj, Вращающийся вокруг неподвиж-

---X ной оси О, навернуты канаты, к концам

которых подвешены грузы А и В весом Р, и pj. Предполагая, что на эту систему действуют только силы тяжести, и пренебрегая сопротивлениями, найти ускорения грузов и реакцию в точке О.

Радиусы Риги радиус инерции шкива относительно оси О известны (рис. .208).

Решение. Так как в заданной задаче требуется определить ускорения грузов, то применим уравнение (227). Сна-Рис 208 чала вычислим по формулам (229) и (230)

кинетическую энергию Т данной системы, состоящей из двух грузов, движущихся поступательно, и шкива, вращающегося вокруг неподвижной оси:

+ •0-2 >

где V, и -скорости грузов А и В, У„-момент инерции шкива относительно оси вращения, fo-его угловая скорость.

поэтому

=S +i "+й -"=I ++

Отсюда

где е = --угловое ускорение шкива.

Так как груз В поднимается, а груз А опускается, то сумма мощностей, действующих на систему сил, равна

Следовательно, уравнение (227) имеет вид

f {P,R" + Р/ + PrL) Е = со (P,i?-P/),

откуда

РгР + Р.г + Р,г1„

Искомые ускорения грузов равны:

Р,Р + Р,г" + РгГ1 РгЯ + Рг + Р,г1„

Для определения реакции в точке О применим теорему о проекции количества движения К системы на неподвижную ось (см. § 1 этой главы). Выбрав координатные оси х и у, как указано на рисунке, на основании этой теоремы имеем:

d = Хо; -= к,- р. Р - Рз,

где Xq, Yq-составляющие искомой реакции по координатным осям. Учитывая, что скорости грузов А и В параллельны оси у и что количество движения шкива равно нулю, так как его центр тяжести лежит на оси вращения, находим:

Из этих уравнений получаем:

.-0, г=р.+р,+р.-!а+=р.+р.+р.-

Угловое ускорение шкива можно найти и по теореме о кинетическом моменте системы. Применяя эту теорему по отношению к оси О, имеем:

§° = Sm„ (F>) = т,(Р,) + т, (РJ = P,R-P,r. (а)

(Моменты внешней силы Р и реакции в точке О относительно оси вращения шкива равны, очевидно, нулю). Кинетический момент L„ данной системы относительно оси О равен сумме кинетических моментов шкива и двух грузов относительно той же оси. Следовательно,

о о I g т, -Г I g

-=(P,R + P/ + P/l„)f.

Поэтому уравнение (а) принимает вид

= PR-Pr.

g dt

отсюда

= e = P-- a.

Пример 173. Доска весом P, лежит на двух цилиндрических катках радиусом г и весом Р каждый. Вся система движется под действием заданной горизонтальной силы F, приложенной

к доске; при этом предполагается, что катки катятся без скольжения и что скорость доски равна скорости катка в точке А. Найти ускорение доски и общую силу трения в точках А и В (рис. 209).

Решение. Для определения ускорения w доски воспользуемся, как и в предыдущей задаче, уравнением (227):

dt

Так как доска движется поступательно, а движение катков является плоскопараллельным, то кинетическую энергию данной